Question

2．如圖，曲線Γ由兩個橢圓T₁：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$和橢圓T₂：$\frac{y^2}{b^2}+\frac{x^2}{c^2}=1（{b＞c＞0}）$組成，當a，b，c成等比數(shù)列時，稱曲線Γ為“貓眼曲線”．
（1）若貓眼曲線Γ過點$M（{0，-\sqrt{2}}）$，且a，b，c的公比為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，求貓眼曲線Γ的方程；
（2）對于題（1）中的求貓眼曲線Γ，任作斜率為k（k≠0）且不過原點的直線與該曲線相交，交橢圓T₁所得弦的中點為M，交橢圓T₂所得弦的中點為N，求證：$\frac{{{k_{OM}}}}{{{k_{ON}}}}$為與k無關(guān)的定值；
（3）若斜率為$\sqrt{2}$的直線l為橢圓T₂的切線，且交橢圓T₁于點A，B，N為橢圓T₁上的任意一點（點N與點A，B不重合），求△ABN面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由題意知$b=\sqrt{2}$，$\frac{a}$=$\frac{c}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，從而求貓眼曲線Γ的方程；
（2）設(shè)交點C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），從而可得${x_0}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}，{y_0}=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}$，聯(lián)立方程化簡可得$k•{k_{OM}}=-\frac{1}{2}$，k•k_ON=-2；從而解得；
（3）設(shè)直線l的方程為$y=\sqrt{2}x+m$，聯(lián)立方程化簡$（{{b^2}+2{c^2}}）{x^2}+2\sqrt{2}m{c^2}x+{m^2}{c^2}-{b^2}{c^2}=0$，從而可得${l_1}：y=\sqrt{2}x+\sqrt{{b^2}+2{c^2}}$，同理可得${l_2}：y=\sqrt{2}x-\sqrt{{b^2}+2{a^2}}$，從而利用兩平行線間距離表示三角形的高，再求$|{AB}|=\frac{{2\sqrt{3}ab\sqrt{2{a^2}-2{c^2}}}}{{{b^2}+2{a^2}}}$；從而求最大面積．

解答 解：（1）由題意知，$b=\sqrt{2}$，$\frac{a}$=$\frac{c}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴a=2，c=1，
∴${T_1}：\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$，∴${T_2}：\frac{y^2}{2}+{x^2}=1$；
（2）證明：設(shè)斜率為k的直線交橢圓T₁于點C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），線段CD中點M（x₀，y₀），
∴${x_0}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}，{y_0}=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{{{x_1}^2}}{4}+\frac{{{y_1}^2}}{2}=1\\ \frac{{{x_2}^2}}{4}+\frac{{{y_2}^2}}{2}=1\end{array}\right.$得$\frac{{（{{x_1}-{x_2}}）（{{x_1}+{x_2}}）}}{4}+\frac{{（{{y_1}-{y_2}}）（{{y_1}+{y_2}}）}}{2}=0$，
∵k存在且k≠0，
∴x₁≠x₂，且x₀≠0，
∴$\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}•\frac{y_0}{x_0}=-\frac{1}{2}$，
即$k•{k_{OM}}=-\frac{1}{2}$；
同理，k•k_ON=-2；
∴$\frac{{{k_{OM}}}}{{{k_{ON}}}}=\frac{1}{4}$；
（3）設(shè)直線l的方程為$y=\sqrt{2}x+m$，
聯(lián)立方程得$\left\{\begin{array}{l}y=\sqrt{2}x+m\\ \frac{y^2}{b^2}+\frac{x^2}{c^2}=1\end{array}\right.$，
化簡得，$（{{b^2}+2{c^2}}）{x^2}+2\sqrt{2}m{c^2}x+{m^2}{c^2}-{b^2}{c^2}=0$，
由△=0化簡得m²=b²+2c²，
${l_1}：y=\sqrt{2}x+\sqrt{{b^2}+2{c^2}}$，
聯(lián)立方程得$\left\{\begin{array}{l}y=\sqrt{2}x+m\\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\end{array}\right.$，
化簡得$（{{b^2}+2{a^2}}）{x^2}+2\sqrt{2}m{a^2}x+{m^2}{a^2}-{b^2}{a^2}=0$，
由△=0得m²=b²+2a²，
${l_2}：y=\sqrt{2}x-\sqrt{{b^2}+2{a^2}}$，
兩平行線間距離：$d=\frac{{\sqrt{{b^2}+2{c^2}}+\sqrt{{b^2}+2{a^2}}}}{{\sqrt{3}}}$，
∴$|{AB}|=\frac{{2\sqrt{3}ab\sqrt{2{a^2}-2{c^2}}}}{{{b^2}+2{a^2}}}$；
∴△ABN的面積最大值為$S=\frac{1}{2}|{AB}|•d=\frac{{ab\sqrt{2{a^2}-2{c^2}}（{\sqrt{{b^2}+2{c^2}}+\sqrt{{b^2}+2{a^2}}}）}}{{{b^2}+2{a^2}}}$．

點評 本題考查了學(xué)生的化簡運算的能力及橢圓與直線的位置關(guān)系的判斷與應(yīng)用．