Question

設f（x）=

-2x+a

2x+1+b

（a，b為實常數(shù)）．
（1）當a=b=1時，證明：①f（x）不是奇函數(shù)；②f（x）是R上的單調遞減函數(shù)．
（2）設f（x）是奇函數(shù)，求a與b的值．

Answer 1

考點：指數(shù)函數(shù)綜合題,函數(shù)單調性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）①當a=b=1時，根據(jù) f（1）=

1

5

，f（-1）=

1

4

，f（-1）≠-f（1），可得f（x）不是奇函數(shù)．
②利用函數(shù)的單調性的定義證明f（x）是R上的單調遞減函數(shù)．
（2）當f（x）是奇函數(shù)時，f（-x）=-f（x），化簡整理得（2a-b）2^2x+（2ab-4）2^x+（2a-b），這是關于x的恒等式，故有

2a-b=0 2ab-4=0

，由此求得a、b的值．

解答： 解：（1）①當a=b=1時，f（x）=

-2x+a

2x+1+b

=

-2x+1

2x+1+1

，∵f（1）=

-2+1

22+1

=

1

5

，
f（-1）=

- 1 2 +1

2

=

1

4

，f（-1）≠-f（1），f（x）不是奇函數(shù)．
②設x₂＞x₁，則f(x2)=

1-2x2

1+2x2+1

，f(x1)=

1-2x1

1+2x1+1

，
f（x₂）-f（x₁）=

1-2x2

1+2x2+1

-

1-2x1

1+2x1+1

=

(1-2x2)(1+2x1+1)-(1-2x1)(1+2x2+1)

(1+2x2+1)(1+2x1+1)

=

3(2x1-2x2)

(1+2x2+1)(1+2x1+1)

，
因為x₂＞x₁，所以2x1-2x2＜0，又因為(1+2x1+1)(1+2x2+1)＞0，
所以f（x₂）-f（x₁）＜0，所以f（x₂）＜f（x₁），
所以f（x）是R上的單調遞減函數(shù)．
（2）當f（x）是奇函數(shù)時，f（-x）=-f（x），
即

-2-x+a

2-x+1+b

=-

-2-x+a

2x+1+b

對任意實數(shù)x成立．
化簡整理得（2a-b）2^2x+（2ab-4）2^x+（2a-b）=0，這是關于x的恒等式，
所以，

2a-b=0 2ab-4=0

，所以，

a=-1 b=-2

，或

a=1 b=2

．

點評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調性的判斷和證明，屬于中檔題．