Question

10．在平行六面體ABCD一A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)M是棱AA′的中點(diǎn)，點(diǎn)G在對(duì)角線A′C上，且CG：GA′=2：1，設(shè)$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow$，$\overrightarrow{CC′}$=$\overrightarrow{c}$，試用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$表示向量$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{CA′}$，$\overrightarrow{CM}$，$\overrightarrow{CG}$．

Answer 1

分析 由已知，結(jié)合向量加法的三角形法則，三點(diǎn)共線充要條件的向量表示法，可用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$表示向量$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{CA′}$，$\overrightarrow{CM}$，$\overrightarrow{CG}$．

解答 解：如圖所示：∵點(diǎn)G在對(duì)角線A′C上，且CG：GA′=2：1，
∴AG=$\frac{1}{3}$AC₁，
又∵M(jìn)是棱AA′的中點(diǎn)，$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow$，$\overrightarrow{CC′}$=$\overrightarrow{c}$，
∴$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{CB}$+$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$，
$\overrightarrow{CA′}$=$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{{AA}_{1}}$=$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CC′}$=$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$+c→，
$\overrightarrow{CM}$=$\overrightarrow{CA}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{AA}_{1}}$=$\overrightarrow{CA}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CC′}$=$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{c}$，
$\overrightarrow{CG}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{CA}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{CC′}$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}\overrightarrow+\frac{1}{3}\overrightarrow{c}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是空間向量加法的三角形法則，空間向量的基本定理，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．