Question

1．如圖，已知E，F(xiàn)分別是平行四邊形ABCD的邊BC，CD中點(diǎn)，AF與DE相交于點(diǎn)G，若$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow$，則$\overrightarrow{GC}$=$\frac{3}{5}\overrightarrow{a}+\frac{1}{5}\overrightarrow$（用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$表示）

Answer 1

分析 設(shè)$\overrightarrow{AG}$=λ$\overrightarrow{AF}$，$\overrightarrow{DG}$=μ$\overrightarrow{DE}$，利用平面向量的基本定理解出λ，μ，再利用向量的三角形法則表示出$\overrightarrow{GC}$．

解答 解：$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DF}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\overrightarrow$，$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CE}$=$\overrightarrow{a}-\frac{1}{2}\overrightarrow$，
設(shè)$\overrightarrow{AG}$=λ$\overrightarrow{AF}$=$\frac{λ}{2}\overrightarrow{a}+λ\overrightarrow$，$\overrightarrow{DG}$=μ$\overrightarrow{DE}$=$μ\overrightarrow{a}-\frac{μ}{2}\overrightarrow$，則$\overrightarrow{AG}$=$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DG}$=$\overrightarrow$+$μ\overrightarrow{a}-\frac{μ}{2}\overrightarrow$=$μ\overrightarrow{a}$+（1-$\frac{μ}{2}$）$\overrightarrow$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{λ}{2}=μ}\\{λ=1-\frac{μ}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{λ=\frac{4}{5}}\\{μ=\frac{2}{5}}\end{array}\right.$．∴$\overrightarrow{GF}=\frac{1}{5}\overrightarrow{AF}$=$\frac{1}{10}\overrightarrow{a}+\frac{1}{5}\overrightarrow$，∴$\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{GF}+\overrightarrow{FC}$=$\frac{1}{10}\overrightarrow{a}+\frac{1}{5}\overrightarrow$+$\frac{1}{2}\overrightarrow{a}$=$\frac{3}{5}\overrightarrow{a}+\frac{1}{5}\overrightarrow$．
故答案為$\frac{3}{5}\overrightarrow{a}+\frac{1}{5}\overrightarrow$．

點(diǎn)評 本題考查了平面向量的基本定理和幾何意義，求出λ和μ是解題關(guān)鍵．