Question

20．在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosa}\\{y=2+2sina}\end{array}\right.$（a為參數(shù)），直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos（θ-$\frac{π}{6}$）=2．
（1）分別求出曲線C和直線l的直角坐標(biāo)方程；
（2）若點(diǎn)P在曲線C上，且點(diǎn)P到直線l的距離為1，求滿足這樣條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）消去參數(shù)能求出曲線C的普通方程，由ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出直線l的直角坐標(biāo)方程．
（2）曲線C是以（0，2）為圓心，以2為半徑的圓，求出圓心C（0，2）到直線l的距離，能判斷出滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)．

解答 解：（1）∵曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosa}\\{y=2+2sina}\end{array}\right.$（a為參數(shù)），
∴曲線C的普通方程為x²+（y-2）²=4，
∵直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos（θ-$\frac{π}{6}$）=2，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}ρcosθ$+$\frac{1}{2}ρsinθ$=2，
∴直線l的直角坐標(biāo)方程為$\sqrt{3}x+y-4=0$．
（2）∵曲線C：x²+（y-2）²=4是以（0，2）為圓心，以2為半徑的圓，
∴圓心C（0，2）到直線l的距離d=$\frac{|2-4|}{\sqrt{3+1}}$=1，
∵點(diǎn)P在曲線C上，且點(diǎn)P到直線l的距離為1，∴滿足這樣條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)有3個(gè)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線的直角坐標(biāo)方程的求法，考查滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的判斷，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要注意點(diǎn)到直線距離公式、直線與圓的位置關(guān)系的合理運(yùn)用．