Question

5．已知x＞$\frac{1}{2}$，則函數(shù)f（x）=$\frac{1-2x}{{x}^{2}-2x+\frac{11}{4}}$的最小值是-$\frac{4\sqrt{2}+2}{7}$．

Answer 1

分析 令2x-1=t（t＞0），即x=$\frac{1}{2}$（t+1），即有函數(shù)即為$\frac{-4}{t+\frac{8}{t}-2}$，再由基本不等式和函數(shù)的單調(diào)性即可得到最小值．

解答 解：令2x-1=t（t＞0），即x=$\frac{1}{2}$（t+1），
即有函數(shù)y=$\frac{-t}{\frac{1}{4}（t+1）^{2}-（t+1）+\frac{11}{4}}$=$\frac{-4}{t+\frac{8}{t}-2}$，
由t+$\frac{8}{t}$≥2$\sqrt{t•\frac{8}{t}}$=4$\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)t=2$\sqrt{2}$，即x=$\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}$時(shí)，取得等號．
即有函數(shù)f（x）≥$\frac{-4}{4\sqrt{2}-2}$=-$\frac{4\sqrt{2}+2}{7}$．
故f（x）的最小值為-$\frac{4\sqrt{2}+2}{7}$．
故答案為：-$\frac{4\sqrt{2}+2}{7}$．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用換元法和基本不等式，應(yīng)注意滿足的條件：一正二定三等，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．