Question

4．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且過焦點(diǎn)與長軸垂直的弦長為1，求橢圓的方程．

Answer 1

分析 根據(jù)橢圓的離心率可以得到$\frac{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$①，過焦點(diǎn)的直線可表示為x=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$，所以根據(jù)過焦點(diǎn)與長軸垂直的弦長為1得到$\frac{2^{2}}{a}=1$②，從而解①②形成的方程組即可得出a，b，從而寫出橢圓的方程．

解答 解：根據(jù)已知條件得：
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{\frac{2^{2}}{a}=1}\end{array}\right.$；
解得a=2，b=1；
橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．

點(diǎn)評(píng) 考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓離心率的概念，橢圓焦點(diǎn)的概念，以及a²=b²+c²．