Question

14．已知直線l：y=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x+1過橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的一個焦點(diǎn)和一個頂點(diǎn)．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過原點(diǎn)的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)（A，B不是橢圓C的頂點(diǎn)）．點(diǎn)D在橢圓C上，且AD⊥AB，直線BD與x軸交于點(diǎn)M，求常數(shù)λ使得k_AM=λk_BD．

Answer 1

分析 （1）利用直線$l：y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+1$的截距，求出橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的幾何量，然后求解方程．
（2）設(shè)A（x₁，y₁）（x₁y₁≠0），D（x₂，y₂），直線AB的斜率${k_{AB}}=\frac{y_1}{x_1}$，直線AD的斜率$k=-\frac{x_1}{y_1}$，設(shè)直線AD的方程為y=kx+m，由題意知k≠0，m≠0，聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用韋達(dá)定理求出k_BD，推出M（3x₁，0）．利用k_AM=-2k_BD，求出λ．

解答 解：（1）直線$l：y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+1$過兩點(diǎn)$（{0，1}），（{-\sqrt{3}，0}）$…（1分）
因?yàn)闄E圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的焦點(diǎn)在x軸時，
故焦點(diǎn)為$（{-\sqrt{3}，0}）$，頂點(diǎn)為（0，1）…（2分）．
∴b=1，c=$\sqrt{3}$…（3分）．
∴a=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$=2，…（4分）．
所以，所求橢圓C的方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$…（5分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁）（x₁y₁≠0），D（x₂，y₂），則B（-x₁，-y₁），直線AB的斜率${k_{AB}}=\frac{y_1}{x_1}$，…（6分）
又AB⊥AD，所以直線AD的斜率$k=-\frac{x_1}{y_1}$，…（7分）
設(shè)直線AD的方程為y=kx+m，由題意知k≠0，m≠0，…（8分）
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{x^2}{4}+{y^2}=1}\end{array}}\right.$，可得（1+4k²）x²+8mkx+4m²-4=0．
所以${x_1}+{x_2}=-\frac{8mk}{{1+4{k^2}}}$，…（9分）
因此${y_1}+{y_2}=k（{x_1}+{x_2}）+2m=\frac{2m}{{1+4{k^2}}}$，
由題意知，x₁≠x₂，所以${k_{BD}}=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{{{x_1}+{x_2}}}=-\frac{1}{4k}=\frac{y_1}{{4{x_1}}}$，…（11分）
所以直線BD的方程為$y+{y_1}=\frac{y_1}{{4{x_1}}}（x+{x_1}）$，
令y=0，得x=3x₁，即M（3x₁，0）．
可得${k_{AM}}=-\frac{y_1}{{2{x_1}}}$．…（13分）
所以k_AM=-2k_BD，即λ=-2．因此存在常數(shù)λ=-2使得結(jié)論成立．…（14分）

點(diǎn)評 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查分析問題解決問題的能力．