Question

11．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的焦點(diǎn)分別為${F_1}（-\sqrt{3}，0）$、${F_2}（\sqrt{3}，0）$，P為橢圓C上任一點(diǎn)，$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$的最大值為1．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知點(diǎn)A（1，0），試探究是否存在直線l：y=kx+m與橢圓C交于D、E兩點(diǎn)，且使得|AD|=|AE|？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)P（x，y），運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合點(diǎn)滿足橢圓方程，運(yùn)用橢圓的性質(zhì)，即可得到最大值1，可得a=2，b=1，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）假設(shè)存在直線l滿足題設(shè)，設(shè)D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），將y=kx+m代入$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，運(yùn)用韋達(dá)定理和判別式大于0，結(jié)合兩點(diǎn)的距離公式，可得k，m的關(guān)系式，消去m，解不等式即可得到k的范圍．

解答 解：（1）設(shè)P（x，y），
由${F_1}（-\sqrt{3}，0）$、${F_2}（\sqrt{3}，0）$，得$\overrightarrow{P{F_1}}=（-\sqrt{3}-x，-y）$，$\overrightarrow{P{F_2}}=（\sqrt{3}-x，-y）$．
∴$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=-（\sqrt{3}+x）（\sqrt{3}-x）+{y^2}$=x²+y²-3，
由$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$得${y^2}={b^2}（1-\frac{x^2}{a^2}）$，
∴$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}={x^2}+{b^2}（1-\frac{x^2}{a^2}）-3$=$\frac{3}{a^2}{x^2}+{b^2}-3$，
∵0≤x²≤a²，∴當(dāng)x²=a²，即x=±a時(shí)，$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$有最大值，
即${（\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}）_{max}}=3+{b^2}-3=1$，
∴b²=1，a²=c²+b²=4，
∴所求橢圓C的方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（2）假設(shè)存在直線l滿足題設(shè)，設(shè)D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），
將y=kx+m代入$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$并整理得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
由△=64k²m²-4（1+4k²）（4m²-4）=-16（m²-4k²-1）＞0，得4k²+1＞m²①
又${x_1}+{x_2}=-\frac{8km}{{1+4{k^2}}}$，
由|AD|=|AE|可得
${（{x_1}-1）^2}+y_1^2={（{x_2}-1）^2}+y_2^2⇒（{x_1}-{x_2}）（{x_1}+{x_2}-2）+（{y_1}-{y_2}）（{y_1}+{y_2}）=0$$⇒{x_1}+{x_2}-2+\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}（{y_1}+{y_2}）=0$，
⇒（1+k²）（x₁+x₂）+2km-2=0$⇒-（1+{k^2}）\frac{8km}{{1+4{k^2}}}+2km-2=0$，
化簡(jiǎn)得$m=-\frac{{1+4{k^2}}}{3k}$②
將②代入①得，$4{k^2}+1＞{（\frac{{1+4{k^2}}}{3k}）^2}$，
化簡(jiǎn)得20k⁴+k²-1＞0⇒（4k²+1）（5k²-1）＞0，
解得$k＞\frac{{\sqrt{5}}}{5}$或$k＜-\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．
所以存在直線l，使得|AD|=|AE|，此時(shí)k的取值范圍為$（-∞，-\frac{{\sqrt{5}}}{5}）∪（\frac{{\sqrt{5}}}{5}，+∞）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓方程的運(yùn)用，聯(lián)立直線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，同時(shí)考查兩點(diǎn)的距離公式的運(yùn)用和化簡(jiǎn)整理的能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．