Question

19．函數(shù)f（x）=|x|-2|x+3|．
（1）解不等式f（x）≥2；
（2）若存在x∈R使不等式f（x）-|3t-2|≥0成立，求參數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 去掉絕對值符號，化簡函數(shù)的解析式為分段函數(shù)，
（ I）不等式轉(zhuǎn)化為$\left\{\begin{array}{l}x＜-3\\ x+6≥2\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}-3≤x≤0\\-3x-6≥2\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x＞0\\-x-6≥2\end{array}\right.$，求出解集即可．
（Ⅱ）求出f（x）_max=3，轉(zhuǎn)化不等式為f（x）_max-|3t-2|≥0，然后求解參數(shù)t的取值范圍．

解答 解：$f（x）=\left\{\begin{array}{l}x+6，x＜-3\\-3x-6，-3≤x≤0\\-x-6，x＞0\end{array}\right.$，…（3分）
（ I）$\left\{\begin{array}{l}x＜-3\\ x+6≥2\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}-3≤x≤0\\-3x-6≥2\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x＞0\\-x-6≥2\end{array}\right.$，
∴-4≤x＜-3或$-3≤x≤-\frac{8}{3}$或ϕ．
∴不等式f（x）≥2的解集為$\left\{{x\left|{-4≤x≤-\frac{8}{3}}\right.}\right\}$．…（6分）
（Ⅱ）∵f（x）_max=3∴只需f（x）_max-|3t-2|≥0，即3-|3t-2|≥0，
亦即|3t-2|≤3，解之得：$-\frac{1}{3}≤t≤\frac{5}{3}$，
∴參數(shù)t的取值范圍$-\frac{1}{3}≤t≤\frac{5}{3}$．…（10分）

點評 本題考查函數(shù)恒成立，函數(shù)的最值的應(yīng)用，絕對值不等式的解法，考查分類討論思想以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查計算能力．