Question

15．設(shè)a，b是正實(shí)數(shù)且2a+b=2，則S=2$\sqrt{ab}$+4a²+b²的取值范圍．

Answer 1

分析 由題意和基本不等式可得0＜$\sqrt{ab}$≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得S=-4（$\sqrt{ab}$）²+2$\sqrt{ab}$+4，看作關(guān)于$\sqrt{ab}$的二次函數(shù)區(qū)間的最值可得．

解答 解：由題意可得2=2a+b≥2$\sqrt{2ab}$，解得0＜$\sqrt{ab}$≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)2a=b時(shí)取等號(hào)，
∴S=2$\sqrt{ab}$+4a²+b²=2$\sqrt{ab}$+（2a+b）²-4ab
=2$\sqrt{ab}$+4-4ab=-4（$\sqrt{ab}$）²+2$\sqrt{ab}$+4，
由二次函數(shù)可知當(dāng)$\sqrt{ab}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)，S取最小值2+$\sqrt{2}$；
當(dāng)$\sqrt{ab}$=$\frac{1}{4}$時(shí)，S取最大值$\frac{17}{4}$；
故S=2$\sqrt{ab}$+4a²+b²的取值范圍為[2+$\sqrt{2}$，$\frac{17}{4}$]

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式求式子的取值范圍，涉及二次函數(shù)區(qū)間的最值和整體思想，屬中檔題．