Question

4．?dāng)?shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$，求a_n．

Answer 1

分析 先化簡(jiǎn)a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$，根據(jù)等差數(shù)列的定義判斷出數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出$\frac{1}{{a}_{n}}$和a_n．

解答 解：由題意得，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$，
則a_n+1a_n+2a_n+1=2a_n，
即$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$，
又a₁=2，所以數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以$\frac{1}{2}$為首項(xiàng)、公差的等差數(shù)列，
則$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}+（n-1）×\frac{1}{2}$=$\frac{n}{2}$，
所以a_n=$\frac{n}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的遞推公式的化簡(jiǎn)，等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式的應(yīng)用，考查構(gòu)造法的應(yīng)用，屬于中檔題．