Question

16．設z為非零復數(shù)，且滿足條件z-$\frac{1}{z}$為純虛數(shù)，|z-2i|=$\sqrt{3}$，求復數(shù)z．

Answer 1

分析 設z=x+yi，x和y不同時為0，代入化簡由z-$\frac{1}{z}$為純虛數(shù)可得x=0或x²+y²=1，分別由模長公式可得．

解答 解：設z=x+yi，x和y不同時為0，
∴z-$\frac{1}{z}$=x+yi-$\frac{1}{x+yi}$=x+yi-$\frac{x-yi}{（x+yi）（x-yi）}$
=x+yi-$\frac{x-yi}{{x}^{2}+{y}^{2}}$=（x-$\frac{x}{{x}^{2}+{y}^{2}}$）+（y+$\frac{y}{{x}^{2}+{y}^{2}}$）i，
由z-$\frac{1}{z}$為純虛數(shù)可得x-$\frac{x}{{x}^{2}+{y}^{2}}$=0，解得x=0或x²+y²=1，
當x=0時可得|yi-2i|=$\sqrt{3}$，解得y=2+$\sqrt{3}$或y=2-$\sqrt{3}$；
當x²+y²=1時，可得|x+yi-2i|=$\sqrt{3}$，即（x-2）²+y²=3，
∴x²+y²-4y+4=3，∴1-4y+4=3，解得y=$\frac{1}{2}$，此時x=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴z=（2+$\sqrt{3}$）i，或z=（2-$\sqrt{3}$）i，或z=$\frac{\sqrt{3}}{2}$+i，或z=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$+i

點評 本題考查復數(shù)代數(shù)形式的混合運算，涉及復數(shù)的模長公式和分類討論的思想，屬中檔題．