Question

17．設雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，F₁，F₂是其兩個焦點，點M、N在雙曲線上．
（1）若M、N的中點為（2，$\frac{9}{2}$），求直線MN的方程．
（2）若∠F₁MF₂=60°時．求△F₁MF₂的面積．

Answer 1

分析 （1）利用點差法，結合M、N的中點為（2，$\frac{9}{2}$），求出直線的斜率，即可求直線MN的方程．
（2）若∠F₁MF₂=60°，利用余弦定理，結合三角形的面積公式，即可求△F₁MF₂的面積．

解答 解：（1）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=4，y₁+y₂=9，
M，N代入雙曲線方程，相減可得$\frac{1}{4}$（x₁+x₂）（x₁-x₂）-$\frac{1}{9}$（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴$\frac{1}{4}$×4（x₁-x₂）-$\frac{1}{9}$×9（y₁-y₂）=0，
∴k_MN=1，
∴直線MN的方程y-$\frac{9}{2}$=x-2，即2x-2y+5=0．
（2）設|F₁M|=m，|F₂M|=n，
∠F₁MF₂=60°，在△F₁MF₂中，由余弦定理可得4c²=m²+n²-2mncos60°
即52=（m-n）²+mn，
∴mn=36，
∴△F₁MF₂的面積=$\frac{1}{2}mnsin60°$=9$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了雙曲線的標準方程及其性質、余弦定理、三角形的面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．