Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+$\sqrt{2}$-1，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{6}$]上的最小值和最大值．

Answer 1

分析 （1）直接利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）由x的范圍求出相位的范圍，進一步求得函數(shù)的最值．

解答 解：（1）對于f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+$\sqrt{2}$-1，
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{4}≤\frac{π}{2}+2kπ$，
解得：$-\frac{3π}{8}+kπ≤x≤\frac{π}{8}+kπ，k∈Z$，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為$[-\frac{3π}{8}+kπ，\frac{π}{8}+kπ]，k∈Z$；
（2）由x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{6}$]，得2x$+\frac{π}{4}$∈$[-\frac{π}{4}，\frac{7π}{12}]$，
∴$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）∈$[-1，\sqrt{2}]$，
則函數(shù)f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{6}$]上的最小值和最大值分別為$\sqrt{2}-2$，最大值為$2\sqrt{2}-1$．

點評 本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是中檔題．