Question

2．已知函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镮，如果存在[a，b]⊆I，使函數(shù)f（x）在[a，b]上的值域?yàn)閇ka，kb]，k是正常數(shù)，那么稱函數(shù)y=f（x），x∈I為閉函數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)k=$\frac{1}{2}$時(shí)，判斷函數(shù)f（x）=$\sqrt{x}$是否是閉函數(shù)？若是，則求出區(qū)間[a，b]；
（Ⅱ）當(dāng)k=$\frac{1}{2}$時(shí)．若函數(shù)f（x）=$\sqrt{x}$+t是閉函數(shù)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（Ⅲ）當(dāng)k=1時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)m，當(dāng)a+b≤2時(shí)，使函數(shù)f（x）=x²-2x+m是閉函數(shù)？若存在，求出實(shí)數(shù)m的范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）y=$\sqrt{x}$的定義域是[0，+∞），在[0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，設(shè)y=$\sqrt{x}$在[a，b]的值域是[$\sqrt{a}$，$\sqrt$]，能求出區(qū)間是[a，b]．
（Ⅱ）設(shè)g（x）=$\sqrt{x}$+t，則g（x）是定義域[0，+∞）上的增函數(shù)，由g（x）是閉函數(shù)，知存在區(qū)間[a，b]?[0，+∞），滿足g（a）=$\frac{1}{2}$a，g（b）=$\frac{1}{2}$b，由此能求出實(shí)數(shù)t的取值范圍．
（Ⅲ）由f（x）=x²-2x+m是閉函數(shù)，且k=1，知當(dāng)a＜b≤1時(shí)，f（x）在[a，b]上單調(diào)遞減，由此能推導(dǎo)出m的范圍

解答 解：（Ⅰ）y=$\sqrt{x}$的定義域是[0，+∞），
∵y=$\sqrt{x}$在[0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，
設(shè)y=$\sqrt{x}$在[a，b]的值域是[$\sqrt{a}$，$\sqrt$]，
由$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{a}=\frac{1}{2}a\\ \sqrt=\frac{1}{2}b\\ a＜b\end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l}a=0\\ b=4\end{array}\right.$，
故函數(shù)y=$\sqrt{x}$是閉函數(shù)，且這個(gè)區(qū)間是[0，4]．
（Ⅱ）設(shè)g（x）=$\sqrt{x}$+t，則g（x）是定義域[0，+∞）上的增函數(shù)，
∵g（x）為閉函數(shù)，
∴存在區(qū)間[a，b]?[0，+∞），滿足g（a）=$\frac{1}{2}$a，g（b）=$\frac{1}{2}$b，
∴方程g（x）=$\frac{1}{2}$x在[0，+∞）內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根，
方程$\sqrt{x}$+t=$\frac{1}{2}$x在[0，+∞）內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根，
令$\sqrt{x}$=m，則其化為m+t=$\frac{1}{2}$m²，
即m²-2m-2t=0有兩個(gè)非負(fù)的不等實(shí)根，
∴$\left\{\begin{array}{l}△=4+8t＞0\\-2t≥0\end{array}\right.$，解得-$\frac{1}{2}$＜t≤0．
（Ⅲ）f（x）=x²-2x+m是閉函數(shù)，且k=1，
∴當(dāng)a＜b≤1時(shí)，f（x）在[a，b]上單調(diào)遞減，
①f（a）=m-2a+a²=b＞1，
f（1）=m-1=a＜1，
a+b≤2，
解得 0≤m＜1；
②f（b）=m-2b+b²=b＞1，
f（1）=m-1=a＜a+b≤2 無(wú)解
$\left\{\begin{array}{l}b=m-2a+{a}^{2}\\ a=m-2b+^{2}\end{array}\right.$，
兩式相減，得a+b=1，
∴$\left\{\begin{array}{l}1-a=m-2a+{a}^{2}\\ 1-b=m-2b+^{2}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}0=m-1-a+{a}^{2}\\ 0=m-1-b+^{2}\end{array}\right.$，
∴方程0=m-1-x+x²在x≤1上有兩個(gè)不同的解，
解得m∈[1，$\frac{5}{4}$）．
當(dāng)a＜1≤b時(shí)有：
①f（a）=m-2a+a²=b＞1，
f（1）=m-1=a＜1，a+b≤2，解得0≤m＜1；
②f（b）=m-2b+b²=b＞1，
f（1）=m-1=$\frac{1}{a}$+b≤2，無(wú)解．
綜上所述，m∈[0，$\frac{5}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，難度大，對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求較高，有一定的探索性．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．