Question

11．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$，|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=2，（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow$-$\overrightarrow{2c}$）=0則|$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$|的最小值．

Answer 1

分析 設(shè)＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=θ，根據(jù)向量的夾角公式，求出θ的值，構(gòu)造向量的點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）（$\overrightarrow$-$\overrightarrow{2c}$）=0得到（x-$\frac{5}{4}$）²+（y-$\frac{\sqrt{3}}{4}$）²=$\frac{3}{4}$，結(jié)合圓的性質(zhì)即可求出最小值．

解答 解：設(shè)＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=θ，
∵|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=2，
∴2×2cosθ=2，
∴θ=$\frac{π}{3}$，
不妨設(shè)$\overrightarrow{a}$=（2，0），則$\overrightarrow$=（1，$\sqrt{3}$），
設(shè)$\overrightarrow{c}$=（x，y），
∴$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$=（2-x，-y），$\overrightarrow$-$\overrightarrow{2c}$=（1-2x，$\sqrt{3}$-2y），
∵（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow$-$\overrightarrow{2c}$）=0，
∴（2-x）（1-2x）-y（$\sqrt{3}$-2y）=0，
化簡(jiǎn)得到（x-$\frac{5}{4}$）²+（y-$\frac{\sqrt{3}}{4}$）²=$\frac{3}{4}$，
即為圓心C為（$\frac{5}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$），以半徑r=$\frac{\sqrt{3}}{2}$的圓，
∵|$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{（x-1）^{2}+（y-\sqrt{3}）^{2}}$，表示點(diǎn)P（x，y）到點(diǎn)Q（1，$\sqrt{3}$）的距離，
∴|CQ|=$\sqrt{（\frac{5}{4}-1）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{4}-\sqrt{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
∴|$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$|的最小值為|CQ|-r=$\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算、點(diǎn)與圓上的點(diǎn)的距離，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題