Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AC，且BC₁⊥A₁C．
（Ⅰ）求證：平面ABC₁⊥平面A₁ACC₁；
（Ⅱ）若D，E分別為A₁C₁和BB₁的中點，求證：DE∥平面ABC₁．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：證明題,空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）證明平面ABC₁⊥平面A₁C，只需證明A₁C⊥平面ABC₁；
（Ⅱ）取AA₁中點F，連EF，F(xiàn)D，證明平面EFD∥平面ABC₁，則有ED∥平面ABC₁．

解答： 證明：（I）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，有AA₁⊥平面ABC．
∴AA₁⊥AC，又AA₁=AC，∴A₁C⊥AC₁．             …（2分）
又BC₁⊥A₁C，且AC₁∩BC₁=C₁，∴A₁C⊥平面ABC₁，
而A₁C?面A₁ACC₁，∴平面ABC₁⊥平面A₁ACC₁…（6分）
（II）取A₁A中點F，連EF，F(xiàn)D，EF∥AB，DF∥AC₁…（9分）
即平面EFD∥平面ABC₁，則有ED∥平面ABC₁…（12分）

點評：本小題主要考查利用線面垂直的判定定理證明線面垂直，考查線面平行的判定定理，并且考查空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．