Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-3x+（a-1）lnx，g（x）=ax，h（x）=f（x）-g（x）+3x，其中a∈R且a＞1．
（1）求函數(shù)f（x）的導函數(shù)f′（x）的最小值；
（2）當a=3時，求函數(shù)h（x）的單調(diào)區(qū)間及極值．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=$\frac{1}{2}$x²-3x+（a-1）lnx，知f′（x）=x+$\frac{a-1}{x}$-3，x＞0，由此能求出導函數(shù)f′（x）的最小值．
（2）當a=3時，h（x）=$\frac{1}{2}$x²-3x+2lnx，h′（x）=$\frac{（x-1）（x-2）}{x}$，由此列表討論能求出函數(shù)h（x）的單調(diào)區(qū)間及極值．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{1}{2}$x²-3x+（a-1）lnx，
∴f′（x）=x+$\frac{a-1}{x}$-3，x＞0，
∵a＞1，∴a-1＞0，
又∵x＞0，∴x+$\frac{a-1}{x}$-3≥2$\sqrt{a-1}$-3，
當且僅當x=$\sqrt{a-1}$時，取等號，其最小值為2$\sqrt{a-1}$-3．
（2）當a=3時，h（x）=$\frac{1}{2}$x²-3x+2lnx，h′（x）=$\frac{（x-1）（x-2）}{x}$，
x，h′（x），h（x）的變化如下表：

x	（0，1）	1	（1，2）	2	（2，+∞）
h′（x）	+	0	-	0	+
h（x）	↑	-2.5	↓	2ln2-4	↑

∴函數(shù)h（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，1），（2，+∞）；單調(diào)減區(qū)間是（1，2）．
∴函數(shù)h（x）在x=1處取得極大值-2.5，在x=2處取得極小值2ln2-4．

點評 本題考查函數(shù)的最小值的求法，考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，考查學生分析解決問題的能力，正確求出導數(shù)是關(guān)鍵．