Question

12．某班級(jí)體育課進(jìn)行一次籃球定點(diǎn)投籃測(cè)試，規(guī)定每人最多投3次，每次投籃的結(jié)果相互獨(dú)立．在A處每投進(jìn)一球得3分，在B處每投進(jìn)一球得2分，否則得0分．將學(xué)生得分逐次累加并用X表示，如果X的值不低于3分就判定為通過(guò)測(cè)試，立即停止投籃，否則應(yīng)繼續(xù)投籃，直到投完三次為止．現(xiàn)有兩種投籃方案：
方案1：先在A處投一球，以后都在B處投；
方案2：都在B處投籃．
已知甲同學(xué)在A處投籃的命中率為$\frac{1}{4}$，在B處投籃的命中率為$\frac{4}{5}$．
（Ⅰ）若甲同學(xué)選擇方案1，求他測(cè)試結(jié)束后所得總分X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）；
（Ⅱ）你認(rèn)為甲同學(xué)選擇哪種方案通過(guò)測(cè)試的可能性更大？說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （I）確定甲同學(xué)在A處投中為事件A，在B處第次i投中為事件B_i（i=1，2），根據(jù)題意知$P（A）=\frac{1}{4}，P（{B_i}）=\frac{4}{5}$．總分X的取值為0，2，3，4．利用概率知識(shí)求解相應(yīng)的概率．
（2）設(shè)甲同學(xué)選擇方案1通過(guò)測(cè)試的概率為P₁，選擇方案2通過(guò)測(cè)試的概率為P₂，利用概率公式得出P₁，P₂，比較即可．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)甲同學(xué)在A處投中為事件A，在B處第次i投中為事件B_i（i=1，2），
由已知$P（A）=\frac{1}{4}，P（{B_i}）=\frac{4}{5}$．X的取值為0，2，3，4．
則$P（X=0）=P（\bar A{\bar B_1}{\bar B_2}）=P（\bar A）P（{\bar B_1}）P（{\bar B_2}）=\frac{3}{4}×\frac{1}{5}×\frac{1}{5}=\frac{3}{100}$，$P（X=2）=P（\bar A{B_1}{\bar B_2}）+P（\bar A{\bar B_1}{B_2}）=\frac{3}{4}×\frac{4}{5}×\frac{1}{5}+\frac{3}{4}×\frac{1}{5}×\frac{4}{5}=\frac{6}{25}$，
$P（X=3）=P（A）=\frac{1}{4}$，$P（X=4）=P（\bar A{B_1}{B_2}）=\frac{3}{4}×\frac{4}{5}×\frac{4}{5}=\frac{12}{25}$，
X的分布列為：

X	0	2	3	4
P	$\frac{3}{100}$	$\frac{6}{25}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{12}{25}$

X的數(shù)學(xué)期望為：$E（X）=0×\frac{3}{100}+2×\frac{6}{25}+3×\frac{1}{4}+4×\frac{12}{25}=\frac{315}{100}=3.15$，
（Ⅱ）甲同學(xué)選擇方案1通過(guò)測(cè)試的概率為P₁，選擇方案2通過(guò)測(cè)試的概率為P₂，
則${P_1}=P（X=3）+P（X=4）=\frac{1}{4}+\frac{12}{25}=\frac{73}{100}=0.73$，${P_2}=P（{B_1}{B_2}）+P（{\bar B_1}{B_2}{B_3}）+P（{B_1}{\bar B_2}{B_3}）=\frac{4}{5}×\frac{4}{5}+\frac{1}{5}×\frac{4}{5}×\frac{4}{5}+\frac{4}{5}×\frac{1}{5}×\frac{4}{5}=\frac{112}{125}=0.896$，
∵P₂＞P₁，
∴甲同學(xué)選擇方案2通過(guò)測(cè)試的可能性更大．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查離散型隨機(jī)變量分布列及數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力以及應(yīng)用意識(shí)，考查必然與或然思想等．