Question

11．求下列函數(shù)的值域：
（1）y=x²+2x，x∈[0，3]；
（2）y=$\frac{x-3}{x+1}$；
（3）y=x-$\sqrt{1-2x}$；
（4）y=log₃x+log_x3-1．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸判斷該函數(shù)在[0，3]上的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求該函數(shù)最值，從而得出值域；
（2）分離常數(shù)法將該函數(shù)變成y=1$-\frac{4}{x+1}$，通過解析式即可看出y≠1，從而得出該函數(shù)值域；
（3）換元，令$\sqrt{1-2x}=t，x=\frac{1-{t}^{2}}{2}，t≥0$，從而可得到關(guān)于t的二次函數(shù)，判斷該二次函數(shù)在[0，+∞）上的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性即可得到原函數(shù)的值域；
（4）利用換底公式將原函數(shù)變成y=$lo{g}_{3}x+\frac{1}{lo{g}_{3}x}-1$，從而由基本不等式即可得到該函數(shù)的值域．

解答 解：（1）y=x²+2x的對稱軸為x=-1，所以：
該函數(shù)在[0，3]上單調(diào)遞增；
∴該函數(shù)在[0，3]上的最大值為15，最小值為0；
∴該函數(shù)的值域為[0，15]；
（2）$y=\frac{x-3}{x+1}=\frac{x+1-4}{x+1}=1-\frac{4}{x+1}$；
$\frac{4}{x+1}≠0$；
∴$1-\frac{4}{x+1}≠1$；
∴該函數(shù)的值域為{y|y≠1}；
（3）y=$x-\sqrt{1-2x}$；
∴令$\sqrt{1-2x}=t，t≥0$；
∴$x=\frac{1-{t}^{2}}{2}$；
∴原函數(shù)變成$y=-\frac{1}{2}{t}^{2}-t+\frac{1}{2}$，該二次函數(shù)的對稱軸為t=-1；
∴該函數(shù)在[0，+∞）上單調(diào)遞減；
∴$y≤\frac{1}{2}$；
∴原函數(shù)的值域為（-∞，$\frac{1}{2}$]；
（4）y=log₃x+log_x3-1=$lo{g}_{3}x+\frac{1}{lo{g}_{3}x}-1$；
∴若log₃x＞0，則$lo{g}_{3}x+\frac{1}{lo{g}_{3}x}≥2$，當log₃x=1時取“=”；
∴此時y≥1；
若log₃x＜0，則$-lo{g}_{3}x+\frac{1}{-lo{g}_{3}x}≥2$，當log₃x=-1時取“=”；
∴$lo{g}_{3}x+\frac{1}{lo{g}_{3}x}≤-2$；
∴此時y≤-3；
∴得到原函數(shù)的值域為（-∞，-3]∪[1，+∞）．

點評 考查二次函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的最值，求函數(shù)的值域，分離常數(shù)法的運用，換元求帶根號的函數(shù)值域的方法，以及基本不等式的運用，注意基本不等式的使用條件．