Question

13．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為梯形，AB∥CD．若棱AB，AD，AP兩兩垂直，長度分別為1，2，2，且向量$\overrightarrow{PC}$與$\overrightarrow{BD}$夾角的余弦值為$\frac{\sqrt{15}}{15}$．
（1）求CD的長度；
（2）求直線PB與平面PCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）以A為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，設(shè)CD=a，求出向量$\overrightarrow{PC}$與$\overrightarrow{BD}$得坐標(biāo)，代入夾角公式計算a；
（2）求出$\overrightarrow{PB}$和平面PCD的法向量$\overrightarrow{n}$，則直線PB與平面PCD所成角的正弦值為|cos＜$\overrightarrow{PB}，\overrightarrow{n}$＞|．

解答 解：（1）以A為原點(diǎn)，以AB，AD，AP為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，如圖所示：
設(shè)CD=a，則A（0，0，0），P（0，0，2），C（a，2，0），B（1，0，0），D（0，2，0），
∴$\overrightarrow{PC}$=（a，2，-2），$\overrightarrow{BD}$=（-1，2，0），
∴cos＜$\overrightarrow{PC}，\overrightarrow{BD}$＞=$\frac{\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{PC}||\overrightarrow{BD}|}$=$\frac{4-a}{\sqrt{{a}^{2}+8}\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{15}}{15}$．
解得a=2．
∴CD=2．
（2）$\overrightarrow{PB}$=（-1，0，-2），$\overrightarrow{CD}$=（-2，0，0），$\overrightarrow{PD}$=（0，2，-2）．
設(shè)平面PCD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2x=0}\\{2y-2z=0}\end{array}\right.$，令z=1得$\overrightarrow{n}$=（0，1，1）．
∴cos＜$\overrightarrow{PB}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{PB}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-2}{\sqrt{5}\sqrt{\sqrt{2}}}$=-$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
∴直線PB與平面PCD所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了空間向量與空間角的計算，屬于中檔題．