Question

13．已知圓Г過點（1，1）、（1，3）、（2，2），P是圓Г的一個動點，若A（-3，4），O為坐標(biāo)原點，則$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OA}$的最大值為（　　）

• A． 0
• B． 4
• C． 12
• D． 10

Answer 1

分析 先求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，設(shè)P的坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)向量的坐標(biāo)的運算得到$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OA}$=-3x+4y，設(shè)-3x+4y=t，即3x-4y+t=0，當(dāng)直線與圓相切時有最大值．
根據(jù)點到直線距離公式即可求出．

解答 解：設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，
則$\left\{\begin{array}{l}{（1-a）^{2}+（1-b）^{2}={r}^{2}}\\{（1-a）^{2}+（3-b）^{2}={r}^{2}}\\{（2-a）^{2}+（2-b）^{2}={r}^{2}}\end{array}\right.$，
解得a=1，b=2，r=1，
∴（x-1）²+（y-2）²=1，
設(shè)P的坐標(biāo)為（x，y），
∵A（-3，4），O為坐標(biāo)原點，
∴$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OA}$=-3x+4y，
設(shè)-3x+4y=t，即3x-4y+t=0，
則y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{t}{4}$
當(dāng)直線3x-4y+t=0與圓相切時，t的值最大，
∴d=$\frac{|1×3-2×4+t|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=1，
即|t-5|=5，
解得t=0，或t=10，
∴t的最大值為10．
∴t的最大值為10．
故選：D．

點評 本題考查了直線和圓的位置關(guān)系，圓的方程的解法和向量的坐標(biāo)運算，屬于中檔題．