Question

5．△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，a＞b且sin2B+sin2C=tan$\frac{A}{2}$（cos2B+cos2C）．
（I）求角A的大��；
（Ⅱ）若a=4，求b+c的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過和差化積公式，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡得tan$\frac{A}{2}$=$\sqrt{3}$，利用正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)求出A的值．
（Ⅱ）通過余弦定理以及基本不等式求出b+c的范圍，再利用三角形三邊的關(guān)系求出b+c的范圍．

解答 解：（I）∵sin2B+sin2C=tan$\frac{A}{2}$（cos2B+cos2C）．
∴2sin（B+C）cos（B-C）=2tan$\frac{A}{2}$cos（B+C）cos（B-C），
∴sinAcos（B-C）=-tan$\frac{A}{2}$cosAcos（B-C），
∴可得：sinA=-tan$\frac{A}{2}$cosA，
∴可得：tanA=$\frac{2tan\frac{A}{2}}{1-ta{n}^{2}\frac{A}{2}}$=-tan$\frac{A}{2}$，解得：tan$\frac{A}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴由$\frac{A}{2}$∈（0，$\frac{π}{2}$）解得：A=$\frac{2π}{3}$．
（Ⅱ）由余弦定理得，a²=b²+c²-2bccosA，
則16=b²+c²+bc，
∴（b+c）²-bc=16，
即bc=（b+c）²-16≤[$\frac{1}{2}$（b+c）]2，
化簡得，（b+c）²≤$\frac{64}{3}$（當(dāng)且僅當(dāng)b=c時取等號），
則b+c≤$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，又b+c＞a=4，
綜上得，b+c的取值范圍是（4，$\frac{8\sqrt{3}}{3}$]．

點評 本題考查余弦定理的應(yīng)用，和差化積公式，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用以及基本不等式求最值，考查分析問題、解決問題的能力，屬于中檔題．