Question

12．設(shè)m是實(shí)數(shù)，$f（x）=m-\frac{2}{{{2^x}+1}}（x∈R）$，
（1）若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，求m的值；
（2）若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且不等式f（kx²+1）+f（2x+1）≥0的解集是R．求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令f（0）=0可解出m的值；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性將f（kx²+1）+f（2x+1）≥0轉(zhuǎn)化為f（kx²+1）≥-f（2x+1）=f（-2x-1），即kx²+1≥-2x-1恒成立．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
∴f（0）=0
即m-1=0，
解得m=1．
（2）由（1）知$f（x）=1-\frac{2}{{{2^x}+1}}$，
∴f（x）在R上是增函數(shù)，
f（kx²+1）+f（2x+1）≥0的解集是R
即f（kx²+1）≥-f（2x+1）=f（-2x-1）恒成立．
∴kx²+1≥-2x-1恒成立．  
 即kx²+2x+2≥0恒成立．
∴△=4-8k≤0，
解得k≥$\frac{1}{2}$．
∴k的取值范圍是$k≥\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了奇函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的應(yīng)用，利用函數(shù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化為自變量的大小比較是解題關(guān)鍵．