Question

17．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，前n項(xiàng)和S_n=$\frac{n+2}{3}$a_n（n≥2，n∈N^*）．
（I）求a₂，a₃及{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記b_n=a_n+$\frac{n}{2}$，c_n=$\frac{1}{_{n}}$，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用a₁=1、S_n=$\frac{n+2}{3}$a_n（n≥2，n∈N^*）計(jì)算可知a₂，a₃的值，通過(guò)S_n=$\frac{n+2}{3}$a_n（n≥1，n∈N^*）與S_n-1=$\frac{n+1}{3}$a_n-1（n≥2，n∈N^*）作差、整理可知$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n+1}{n-1}$，利用a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$•$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…•$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•a₁累乘計(jì)算，進(jìn)而可得結(jié)論；
（Ⅱ）通過(guò)（I）裂項(xiàng)可知c_n=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$，進(jìn)而并項(xiàng)相加即得結(jié)論．

解答 解：（I）∵a₁=1，S_n=$\frac{n+2}{3}$a_n（n≥2，n∈N^*），
∴a₁+a₂=$\frac{2+2}{3}$a₂，a₂=3a₁=3，
a₁+a₂+a₃=$\frac{3+2}{3}$a₃，a₃=$\frac{3}{2}$（a₁+a₂）=$\frac{3}{2}$（1+3）=6，
∴S_n=$\frac{n+2}{3}$a_n（n≥1，n∈N^*），S_n-1=$\frac{n+1}{3}$a_n-1（n≥2，n∈N^*），
兩式相減得：a_n=$\frac{n+2}{3}$a_n-$\frac{n+1}{3}$a_n-1，
整理得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n+1}{n-1}$，
∴a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$•$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…•$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•a₁
=$\frac{n+1}{n-1}$•$\frac{n}{n-2}$•…•$\frac{3}{1}$•1
=$\frac{n（n+1）}{2}$（n≥2，n∈N^*），
又∵a₁=1滿足上式，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=$\frac{n（n+1）}{2}$；
（Ⅱ）由（I）可知b_n=a_n+$\frac{n}{2}$=$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{n}{2}$=$\frac{n（n+2）}{2}$，
∴c_n=$\frac{1}{_{n}}$=$\frac{2}{n（n+2）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$，
∴T_n=1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$
=1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$
=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查裂項(xiàng)相消法，考查累乘法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．