Question

4．已知x=1，x=3是函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）兩個(gè)相鄰的兩個(gè)極值點(diǎn)，且f（x）在x=$\frac{3}{2}$處的導(dǎo)數(shù)f′（$\frac{3}{2}$）＜0，則f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 f（x）的周期為2×（3-1）=4，解出ω，由f′（$\frac{3}{2}$）＜0得出f（1）=f_max（x）=1，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)解出φ，得到f（x）的解析式，再計(jì)算f（$\frac{1}{3}$）．

解答 解：∵x=1，x=3是函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）兩個(gè)相鄰的兩個(gè)極值點(diǎn)，
∴f（x）的周期T=$\frac{2π}{ω}$=2×（3-1）=4，∴ω=$\frac{π}{2}$．
∵f′（$\frac{3}{2}$）＜0，
∴f（x）在[1，3]上是減函數(shù)，∴f（1）=sin（$\frac{π}{2}$+φ）=1，
∴$\frac{π}{2}$+φ=$\frac{π}{2}+2kπ$，∴φ=2kπ．
∴f（$\frac{1}{3}$）=sin（$\frac{π}{6}+2kπ$）=sin$\frac{π}{6}$=$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，屬于中檔題．