Question

10．如圖，四棱錐P-ABCD中，ABCD為矩形，∠APD=90°，面PAD⊥面ABCD，E、F分別為PC和BD的中點(diǎn)．
（1）證明：EF∥面PAD；
（2）證明：面PDC⊥面PAD．

Answer 1

分析 （1）由條件利用三角形中位線的性質(zhì)可得EF∥AP，再利用直線和平面平行的判定定理證得EF∥面PAD．
（2）由條件利用兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)，可得CD⊥面PAD，再利用平面和平面垂直的判定定理證得面PDC⊥面PAD．

解答 證明：（1）如圖：連接AC，∵ABCD為矩形且F是BD的中點(diǎn)，
∴AC必經(jīng)過F．
又E是PC的中點(diǎn)，∴EF 為△PAC的中位線，∴EF∥AP．
又∵EF?面PAD，PA?面PAD，∴EF∥面PAD．
（2）∵面PAD⊥面ABCD，ABCD為矩形，故有CD⊥AD．
面PAD∩面ABCD=AD，∴CD⊥面PAD．
又CD?面PCD，∴面PDC⊥面PAD．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線和平面平行的判定定理，兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)，平面和平面垂直的判定定理的應(yīng)用，屬于中檔題．