Question

5．已知F₁，F(xiàn)₂分別為橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)，M，N分別為其左右頂點(diǎn)，過F₂的直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)．當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，四邊形AMBN的面積等于2，且滿足$|\overrightarrow{M{F_2}}|=2\sqrt{3}|\overrightarrow{AB}|+|\overrightarrow{{F_2}N}|$
（Ⅰ）求此橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)不過原點(diǎn)O的直線m與該橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，滿足直線OP、PQ、OQ的斜率依次成等比數(shù)列，求△OPQ面積的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，由S_{四邊形AMBN}=$\frac{1}{2}×2a×\frac{2^{2}}{a}$=2，又$|\overrightarrow{M{F_2}}|=2\sqrt{3}|\overrightarrow{AB}|+|\overrightarrow{{F_2}N}|$，即$a+c=2\sqrt{3}\frac{{2{b^2}}}{a}+a-c$，又a²=c²+1，解得即可得出．
（2）由題意可知，直線l的斜率存在且不為0，故可設(shè)直線l的方程為y=kx+m （m≠0），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），與橢圓方程聯(lián)立可得（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0，則△＞0，可得根與系數(shù)的關(guān)系，可得 y₁y₂．根據(jù)直線OP，PQ，OQ的斜率依次成等比數(shù)列，可得$\frac{y_1}{x_1}•\frac{y_2}{x_2}$=k²，解出k．利用點(diǎn)到直線的距離公式可得：點(diǎn)O到直線l的距離d，利用弦長公式可得|PQ|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$．利用S_△OPQ=$\frac{1}{2}$d|PQ|即可得出．

解答 解：（1）當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，
由S_{四邊形AMBN}=$\frac{1}{2}×2a×\frac{2^{2}}{a}$=2，
解得b=1．
又$|\overrightarrow{M{F_2}}|=2\sqrt{3}|\overrightarrow{AB}|+|\overrightarrow{{F_2}N}|$，
∴$a+c=2\sqrt{3}\frac{{2{b^2}}}{a}+a-c$，即$ac=2\sqrt{3}$，
又a²=c²+1，解得a=2．
因此該橢圓的方程為橢圓方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．
（2）由題意可知，直線l的斜率存在且不為0，
故可設(shè)直線l的方程為y=kx+m （m≠0），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\{x^2}+4{y^2}-4=0\end{array}\right.$，消去y得（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0，
則△=64 k²b²-16（1+4k²b²）（b²-1）=16（4k²-m²+1）＞0，
且${x_1}+{x_2}=\frac{-8km}{{1+4{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{4（{m^2}-1）}}{{1+4{k^2}}}$．
故 y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²．
∵直線OP，PQ，OQ的斜率依次成等比數(shù)列，
∴$\frac{y_1}{x_1}•\frac{y_2}{x_2}$=$\frac{{{k^2}{x_1}{x_2}+km（{x_1}+{x_2}）+{m^2}}}{{{x_1}{x_2}}}$=k²，
即$\frac{{-8{k^2}{m^2}}}{{1+4{k^2}}}$+m²=0，又m≠0，
∴k²=$\frac{1}{4}$，即k=$±\frac{1}{2}$．
由于直線OP，OQ的斜率存在，且△＞0，得0＜m²＜2 且m²≠1．
設(shè)d為點(diǎn)O到直線l的距離，d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{5}|m|}{5}$，
|PQ|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{\frac{5}{4}[4{m}^{2}-4（2{m}^{2}-2）]}$=$\sqrt{5（2-{m}^{2}）}$．
則S_△OPQ=$\frac{1}{2}$d|PQ|=$\frac{1}{2}$|x₁-x₂||m|=$\sqrt{{m^2}（2-{m^2}）}$，
∴S_△OPQ的取值范圍為 （0，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓的相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式、弦長公式、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、三角形的面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．