Question

4．已知函數(shù)g（x）=log₂（3x-1），f（x）=log₂（x+1），
（1）求不等式g（x）≥f（x）的解集；
（2）在（1）的條件下求函數(shù)y=g（x）+f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）由g（x）≥f（x）得log₂（3x-1）≥log₂（x+1），利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得3x-1≥x+1＞0，解出即可得出．
（2）y=g（x）+f（x）=log₂（3x-1）+log₂（x+1）=${log_2}（3{x^2}+2x-1）$，令t=3x²+2x-1，則y=log₂t．利用二次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）由g（x）≥f（x）得log₂（3x-1）≥log₂（x+1），
∴3x-1≥x+1＞0，
解得x≥1．
則不等式g（x）≥f（x）的解集為 {x|x≥1}．
（2）y=g（x）+f（x）=log₂（3x-1）+log₂（x+1）
=log₂（3x-1）（x+1）
=${log_2}（3{x^2}+2x-1）$，
令t=3x²+2x-1，則y=log₂t．
由（1）可得{x|x≥1}，函數(shù)t=3x²+2x-1的對稱軸為$x=-\frac{1}{3}∉[{1，+∞}）$
∴t=1時，t_min=4，即t≥4．
又∵y=log₂t在t∈[4，+∞）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x≥1時，y≥log₂4=2．
∴所求函數(shù)的值域為[2，+∞）．

點評 本題考查了二次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．