Question

15．下列命題：
①在△ABC中，“A＞30°”是“$sinA＞\frac{1}{2}$”的充分不必要條件；
②已知$\overrightarrow{AB}$=（3，4），$\overrightarrow{CD}$=（-2，-1），則$\overrightarrow{AB}$在$\overrightarrow{CD}$上的投影為-2；
③已知p：?x∈R，cosx=1，q：?x∈R，x²-x+1＞0，則“p∧￢q”為假命題；
④“若x²+x-6≥0，則x＞2”的否命題；
⑤已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{6}$）-2（ω＞0）的導(dǎo)函數(shù)的最大值為3，則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于x=$\frac{π}{3}$對(duì)稱．
其中真命題的序號(hào)為③④．

Answer 1

分析 舉例說明①是假命題；求出給出的兩個(gè)向量的數(shù)量積，再求出向量$\overrightarrow{CD}$的模，則$\overrightarrow{AB}$在$\overrightarrow{CD}$上的投影可求；由復(fù)合命題的真假判斷判斷③；直接寫出命題的否命題判斷④；命題⑤首先對(duì)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的最大值是3求出ω的值，的導(dǎo)函數(shù)解析式后把x=$\frac{π}{3}$代入函數(shù)解析式驗(yàn)證，函數(shù)能取最大值則是對(duì)稱軸，否則不是．

解答 解：①在△ABC中，若A=160°＞30°則$sinA＜\frac{1}{2}$，若$sinA＞\frac{1}{2}$，則30°＜A＜150°，∴“A＞30°”是“$sinA＞\frac{1}{2}$”的必要不充分條件，①是假命題；
②$\overrightarrow{AB}$=（3，4），$\overrightarrow{CD}$=（-2，-1），則$\overrightarrow{AB}$在$\overrightarrow{CD}$上的投影為$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{CD}|}$=$\frac{3×（-2）+4×（-1）}{\sqrt{（-2）^{2}+（-1）^{2}}}=\frac{-10}{\sqrt{5}}=-2\sqrt{5}$，②是假命題；
③p：?x∈R，cosx=1，為真命題；q：?x∈R，x²-x+1=$（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}$＞0，為真命題．則“p∧￢q”為假命題，③是真命題；
④“若x²+x-6≥0，則x＞2”的否命題為：“若x²+x-6＜0，則x≤2”，此命題是真命題；
⑤由f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{6}$）-2，則f′（x）=ω•cos（ωx+$\frac{π}{6}$），
∵函數(shù)f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{6}$）-2（ω＞0）的導(dǎo)函數(shù)的最大值為3，∴ω=3．
則f（x）=sin（3x+$\frac{π}{6}$）-2，而f（$\frac{π}{3}$）=sin（3×$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{6}$）-2=-$\frac{5}{2}$＞-3，∴函數(shù)f（x）的圖象不關(guān)于x=$\frac{π}{3}$對(duì)稱，⑤是假命題．
故答案為：③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了充分必要條件的判定方法，考查了向量投影的求法，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是中檔題．