Question

15．若關(guān)于x的不等式（2ax-1）lnx≥0對任意的x＞0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是{$\frac{1}{2}$}．

Answer 1

分析 根據(jù)條件分別討論x=1，x＞1或0＜x＜1時，利用參數(shù)分類法進(jìn)行求解即可．

解答 解：若x=1，則不等式成立，
若x＞1，則lnx＞0，
則不等式等價為2ax-1≥0對x＞1恒成立，
即2ax≥1，即a≥$\frac{1}{2x}$，∵$\frac{1}{2x}$$＜\frac{1}{2}$，
∴a≥$\frac{1}{2}$，
若0＜x＜1，則lnx＜0，
則不等式等價為（2ax-1）≤0對0＜x＜1恒成立，
即2ax≤1，即a≤$\frac{1}{2x}$，∵$\frac{1}{2x}$＞$\frac{1}{2}$，
∴a≤$\frac{1}{2}$，
綜上a=$\frac{1}{2}$，
故答案為：{$\frac{1}{2}$}

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)恒成立問題，考查構(gòu)造函數(shù)與分類討論思想，考查函數(shù)的單調(diào)性，屬于難題．