Question

9．判斷下列函數(shù)的奇偶性
①f（x）=xlg（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）；
②f（x）=（1-x）$\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$；
③f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x+1（x＞0）}\\{{x}^{2}+2x-1（x＜0）}\end{array}\right.$；
④f（x）=$\frac{\sqrt{4-{x}^{2}}}{|x+3|-3}$．

Answer 1

分析 由奇偶函數(shù)的定義，先求函數(shù)的定義域，再判斷f（-x）和f（x）的關(guān)系即可．

解答 解：①f（x）=xlg（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）的定義域?yàn)镽，f（-x）-f（x）=-xlg（-x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）-xlg（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）=0，
∴函數(shù)是偶函數(shù)；
②f（x）=（1-x）$\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$的定義域?yàn)閇-1，1），不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，非奇非偶；
③f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x+1（x＞0）}\\{{x}^{2}+2x-1（x＜0）}\end{array}\right.$，設(shè)x＞0，則-x＜0，∴f（-x）=x²-2x-1=-f（x），
同理x＜0時(shí)，f（-x）=-f（x），
∴函數(shù)是奇函數(shù)；
④f（x）=$\frac{\sqrt{4-{x}^{2}}}{|x+3|-3}$的定義域?yàn)閇-2，0）∪（0，2]．f（x）=$\frac{\sqrt{4-{x}^{2}}}{x}$，
∴f（-x）=$\frac{\sqrt{4-{x}^{2}}}{-x}$=-f（x），∴函數(shù)是奇函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)奇偶性的判斷，屬基礎(chǔ)知識(shí)的考查，較簡(jiǎn)單．