Question

9．已知數(shù)列{a_n}中，點(diǎn)（a_n，a_n+1）在直線y=x+2上，且首項(xiàng)a₁是方程3x²-4x+1=0的整數(shù)解．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，等比數(shù)列{b_n}中，b₁=a₁，b₂=a₂，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，當(dāng)T_n≤S_n時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出n的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接利用已知條件求出首項(xiàng)，得到關(guān)系式，判斷數(shù)列是等差數(shù)列，即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求出S_n，等比數(shù)列{b_n}中，b₁=a₁，b₂=a₂，求出公比，然后求解T_n，通過(guò)當(dāng)T_n≤S_n時(shí)，寫(xiě)出n的值．

解答 （本小題共13分）
解：（ I）根據(jù)a₁是方程3x²-4x+1=0的整數(shù)解，解得a₁=1，
點(diǎn)（a_n，a_n+1）在直線y=x+2上，可得a_n+1=a_n+2，
即a_n+1-a_n=2=d，…（2分）
所以數(shù)列{a_n}是一個(gè)等差數(shù)列，a_n=a₁+（n-1）d=2n-1…（4分）
（ II）數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和${S_n}={n^2}$…（6分）
等比數(shù)列{b_n}中，b₁=a₁=1，b₂=a₂=3，
所以q=3，${b_n}={3^{n-1}}$…（9分）
數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和${T_n}=\frac{{1-{3^n}}}{1-3}=\frac{{{3^n}-1}}{2}$…（11分）
T_n≤S_n即$\frac{{{3^n}-1}}{2}≤{n^2}$，又n∈N^*，
所以n=1或2．…（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用，數(shù)列求和，以及數(shù)列與不等式的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．