Question

4．已知橢圓C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，以原點(diǎn)為圓心，以橢圓C的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線x+y+$\sqrt{2}$=0相切，另一條直線l與橢圓C交與A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，設(shè)$\overrightarrow{m}$=（2x₁，y₁），$\overrightarrow{n}$=（2x₂，y₂），$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求證：△ABC的面積為定值．

Answer 1

分析 （1）以橢圓C的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線x+y+$\sqrt{2}$=0相切，可得$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=b=1，又$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，解得即可得出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程
（2）當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，x₁=x₂，y₁=-y₂，由$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，可得4x₁x₂+y₁y₂=0，${y}_{1}^{2}=4{x}_{1}^{2}$，又A（x₁，y₁）在橢圓上，代入可得S_△AOB=$\frac{1}{2}|{x}_{1}|•2|{y}_{1}|$=1為定值．
當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為：y=kx+t，與橢圓方程聯(lián)立化為（k²+4）x²+2ktx+t²-4=0，△＞0，化為k²+4＞t²．利用$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，可得4x₁x₂+y₁y₂=0，可得y₁y₂，化為2t²-k²=4．利用|AB|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$，原點(diǎn)O到直線AB的距離d=$\frac{|t|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，即可得出S_△AOB=$\frac{1}{2}|AB|•d$．

解答 （1）解：以橢圓C的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線x+y+$\sqrt{2}$=0相切，
∴$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=b=1，
又$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，解得a=2，c=$\sqrt{3}$，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{y}^{2}}{4}+{x}^{2}=1$
（2）證明：當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，x₁=x₂，y₁=-y₂，
由$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，∴4x₁x₂+y₁y₂=0，${y}_{1}^{2}=4{x}_{1}^{2}$，
又A（x₁，y₁）在橢圓上，∴$\frac{4{x}_{1}^{2}}{4}+{x}_{1}^{2}$=1，
解得${x}_{1}^{2}$=$\frac{1}{2}$，${y}_{1}^{2}$=2．
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}|{x}_{1}|•2|{y}_{1}|$=$\frac{\sqrt{2}}{2}×\sqrt{2}$=1為定值．
當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為：y=kx+t，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+t}\\{{y}^{2}+4{x}^{2}=4}\end{array}\right.$，
化為（k²+4）x²+2ktx+t²-4=0，
△=4k²t²-4（k²+4）（t²-4）＞0，化為k²+4＞t²．
∴x₁+x₂=$\frac{-2kt}{{k}^{2}+4}$，x₁x₂=$\frac{{t}^{2}-4}{{k}^{2}+4}$．
∵$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，∴4x₁x₂+y₁y₂=0，又y₁y₂=（kx₁+t）（kx₂+t）=k²x₁x₂+kt（x₁+x₂）+t²，
∴（4+k²）x₁x₂+kt（x₁+x₂）+t²=0，
∴$\frac{（4+{k}^{2}）（{t}^{2}-4）}{4+{k}^{2}}$-$\frac{2{k}^{2}{t}^{2}}{4+{k}^{2}}$+t²=0，化為2t²-k²=4．
|AB|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[\frac{4{k}^{2}{t}^{2}}{（4+{k}^{2}）^{2}}-\frac{4（{t}^{2}-4）}{{k}^{2}+4}]}$=$\frac{4\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{{k}^{2}+4-{t}^{2}}}{4+{k}^{2}}$，
原點(diǎn)O到直線AB的距離d=$\frac{|t|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}|AB|•d$=2×$\frac{|t|\sqrt{{k}^{2}+4-{t}^{2}}}{4+{k}^{2}}$=$\frac{2|t|\sqrt{{t}^{2}}}{2{t}^{2}}$=1為定值．
綜上可得：△ABC的面積為定值1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓與拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、向量垂直與數(shù)量積運(yùn)算、弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線的距離公式、三角形面積計(jì)算公式，考查了分類討論思想方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．