Question

1．已知橢圓E的中心在坐標原點O，其焦點與雙曲線C：${x^2}-\frac{y^2}{2}=1$的焦點重合，且橢圓E的短軸的兩個端點與其一個焦點構(gòu)成正三角形．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）過雙曲線C的右頂點A作直線l與橢圓E交于不同的兩點P、Q．
①設(shè)M（m，0），當$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{MQ}$為定值時，求m的值；
②設(shè)點N是橢圓E上的一點，滿足ON∥PQ，記△NAP的面積為S₁，△OAQ的面積為S₂，求S₁+S₂的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞b＞0）$，確定c，利用橢圓E的短軸的兩個端點與其一個焦點構(gòu)成正三角形，可得a=2b，利用a²=b²+c²，求出a，b，即可求橢圓E的方程；
（Ⅱ）①分類討論，設(shè)l的方程為y=k（x-1），代入橢圓方程，利用韋達定理，結(jié)合向量的數(shù)量積公式，可得結(jié)論；②確定S₁+S₂=S_△OPQ，求出|PQ|，可得面積，換元確定面積的范圍即可求S₁+S₂的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由題意橢圓的焦點在x軸上，設(shè)方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞b＞0）$，其左右焦點為F₁（-$\sqrt{3}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{3}$，0），∴c=$\sqrt{3}$，
∵橢圓E的短軸的兩個端點與其一個焦點構(gòu)成正三角形，
∴a=2b，
∵a²=b²+c²，
∴a=2，b=1，
∴橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）①雙曲線C右頂點為A（1，0），
當直線l的斜率存在時，設(shè)l的方程為y=k（x-1），
代入橢圓方程得（4k²+1）x²-8k²x+4k²-4=0，
設(shè)直線l與橢圓E交點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{4{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-4}{4{k}^{2}+1}$，
∴$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{QM}$=m²-m（x₁+x₂）+x₁x₂+y₁y₂=
=$\frac{1}{4}$（4m²-8m+1）+$\frac{2m-\frac{17}{4}}{4{k}^{2}+1}$，
當2m-$\frac{17}{4}$=0，即m=$\frac{17}{8}$時，$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{QM}$=$\frac{33}{64}$．
當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x=1，代入橢圓方程可得x=1，y=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
不妨設(shè)P（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），Q（1，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
由M（$\frac{17}{8}$，0）可得$\overrightarrow{PM}$=（$\frac{9}{8}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{QM}$=（$\frac{9}{8}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{QM}$=$\frac{33}{64}$，
綜上所述，m=$\frac{17}{8}$時，$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{QM}$為定值$\frac{33}{64}$；
②∵ON∥PQ，
∴S_△NAP=S_△OAP，
∴S₁+S₂=S_△OPQ，
∵|PQ|=4$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{\sqrt{3{k}^{2}+1}}{4{k}^{2}+1}$，
∵原點O到直線PQ的距離為d=$\frac{|k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$（k≠0），
∴S_△OPQ=$\frac{1}{2}|PQ|d$=$\sqrt{\frac{4{k}^{2}（3{k}^{2}+1）}{（4{k}^{2}+1）^{2}}}$
令t=4k²+1，則k²=$\frac{t-1}{4}$（t＞1），
∴S=$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{3{t}^{2}-2t-1}{{t}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{-（\frac{1}{t}+1）^{2}+4}$，
∵t＞1，
∴0＜$\frac{1}{t}$＜1，
∴0＜-$（\frac{1}{t}+1）^{2}$+4＜3，
∴0＜S＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
當直線l的斜率不存在時，S_△OPQ=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
綜上所述，S₁+S₂的取值范圍是（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]．

點評 本題考查橢圓方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識的運用，考查韋達定理，有難度．