Question

8．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}+x-1（x＜0）}\\{-\frac{1}{3}{x}^{3}+2x（x≥0）}\end{array}\right.$有下列說法：
①f（x）在[2，+∞）上是減函數；
②f（x）的最大值是2；
③方程f（x）=0有2個實數根；
④f（x）≤$\frac{4\sqrt{2}}{3}$在R上恒成立，
正確的說法是①③④．（寫出所有正確說法的序號）．

Answer 1

分析 求導數，可得函數的單調性，最大值，即可得出結論．

解答 解：當x＜0時，f'（x）=e^x+1＞0故函數在（-∞，0）上單調遞增；
當x≥0時，f'（x）=2-x²，故函數在（0，$\sqrt{2}$）上單調遞增，在[$\sqrt{2}$，+∞）上是減函數，故①正確；
∴當x=$\sqrt{2}$時函數f（x）的最大值是f（$\sqrt{2}$）=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$則f（x）≤$\frac{4\sqrt{2}}{3}$在R上恒成立，故④正確，②錯誤；
當x＜0時，f（x）單調遞增，∴f（x）＜f（0），
而f（0）=0，當x→+∞時，f（x）→-∞，故方程f（x）=0有2個實數根，故③正確
故答案為：①③④．

點評 分段函數求解問題，一般分段求解，體現了分類討論的數學思想；在探討函數單調性時，體現了導數的工具性，也培養(yǎng)了應用知識分析、解決問題的能力，是好題，屬中檔題．