Question

3．?dāng)?shù)列{a_n}滿足：a₁+2a₂+…na_n=4-$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$，n∈N⁺．
（1）求a₃的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的前 n項(xiàng)和T_n；
（3）令b₁=a₁，b_n=$\frac{{T}_{n-1}}{n}$+（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$）a_n（n≥2），證明：數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足S_n＜2+2lnn．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)列的遞推關(guān)系即可求a₃的值；
（2）利用作差法求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可求數(shù)列{a_n}的前 n項(xiàng)和T_n；
（3）利用構(gòu)造法，結(jié)合裂項(xiàng)法進(jìn)行求解即可證明不等式．

解答 解：（1）∵a₁+2a₂+…na_n=4-$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$，n∈N⁺．
∴a₁=4-3=1，1+2a₂=4-$\frac{2+2}{{2}^{2-1}}$=2，
解得a₂=$\frac{1}{2}$，
∵a₁+2a₂+…+na_n=4-$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$，n∈N⁺．
∴a₁+2a₂+…+（n-1）a_n-1=4-$\frac{n+1}{{2}^{n-2}}$，n∈N⁺．
兩式相減得na_n=4-$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$-（4-$\frac{n+1}{{2}^{n-2}}$）=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，n≥2，
則a_n=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，n≥2，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1也滿足，
∴a_n=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，n≥1，
則a₃=$\frac{1}{{2}^{2}}=\frac{1}{4}$；
（2）∵a_n=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，n≥1，
∴數(shù)列{a_n}是公比q=$\frac{1}{2}$，
則數(shù)列{a_n}的前 n項(xiàng)和T_n=$\frac{1-（\frac{1}{2}）^{n}}{1-\frac{1}{2}}$=2-2^1-n．
（3）b_n=$\frac{{T}_{n-1}}{n}$+（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$）a_n，
∴b₁=a₁，b₂=$\frac{{a}_{1}}{2}$+（1+$\frac{1}{2}$）a₂，b₃=$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}}{3}+$（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$）a₃，
∴b_n=$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n-1}}{n}$+（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$）a_n，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$）a₁+（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$）a₂+…+（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$）a_n
=（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$）（a₁+a₂+…+a_n）=（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$）T_n
=（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$）（2-2^1-n）＜2×（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$），
設(shè)f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$-1，x＞1，
則f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}=\frac{x-1}{{x}^{2}}＞0$．
即f（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，
∵f（1）=0，即f（x）＞0，
∵k≥2，且k∈N^•時(shí)，$\frac{k}{k-1}＞1$，
∴f（$\frac{k}{k-1}$）=ln$\frac{k}{k-1}$+$\frac{1}{\frac{k}{k-1}}$-1＞0，即ln$\frac{k}{k-1}$＞$\frac{1}{k}$，
∴$\frac{1}{2}＜$ln$\frac{2}{1}$，$\frac{1}{3}＜ln\frac{3}{2}$，…$\frac{1}{n}＜ln\frac{n}{n-1}$，
即$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}＜ln\frac{2}{1}+ln\frac{3}{2}+…+ln\frac{n}{n-1}$=lnn，
∴2×（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$）=2+2×（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$）＜2+2lnn，
即S_n＜2（1+lnn）=2+2lnn．

點(diǎn)評 本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和的計(jì)算，以及數(shù)列和不等式的綜合，利用作差法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的計(jì)算能力，綜合性較強(qiáng)，難度較大．