Question

如圖，將一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形的每條邊三等分，以中間一段為邊向形外作正三角形，并擦去中間一段，得圖（2），如此繼續(xù)下去，得圖（3）…

則前n個(gè)圖形的邊數(shù)的總和為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：歸納推理

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,推理和證明

分析：記第n個(gè)圖形的邊數(shù)為a_n，根據(jù)圖形得到，a₁=3，a₂=12，a₃=48，由題意知：每一條邊經(jīng)一次變化后總變成四條邊，即

an

a   n-1

=4，由等比數(shù)列的定義，可求第n個(gè)圖形的邊數(shù)a_n，進(jìn)而得到前n個(gè)圖形的邊數(shù)的總和

解答： 解：∵a₁=3，a₂=12，a₃=48，由題意知：每一條邊經(jīng)一次變化后總變成四條邊，即

an

a   n-1

=4，
由等比數(shù)列的定義知：a_n=3×4^n-1
故前n個(gè)圖形的邊數(shù)的總和為：

3(1-4n)

1-4

=4ⁿ-1，
故答案為：4ⁿ-1

點(diǎn)評(píng)：本題的肯定是數(shù)列的應(yīng)用，主要考查對(duì)圖形的閱讀能力，考查數(shù)列模型的建立，考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式．