Question

5．將圓O：x²+y²=4上各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼囊话?nbsp;（橫坐標不變），得到曲線C．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）過點$F（\sqrt{3}，0）$的直線l與曲線C交于A，B兩點，N為線段AB的中點，延長線段ON交曲線C于點E．求證：$\overrightarrow{OE}=2\overrightarrow{ON}$的充要條件是|AB|=3．

Answer 1

分析 （I）設點P（x'，y'），點M的坐標為（x，y），由題意可知$\left\{\begin{array}{l}x'=x\\ y'=2y\end{array}\right.$，由此能求出點M的軌跡C的方程．
（II）設點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），點N的坐標為（x₀，y₀），當直線l與x軸重合時，線段AB的中點N就是原點O，不合題意；設直線l：$x=my+\sqrt{3}$，由$\left\{\begin{array}{l}x=my+\sqrt{3}\\{x^2}+4{y^2}=4\end{array}\right.$，得$（{m^2}+4）{y^2}+2\sqrt{3}my-1=0$，由此利用韋達定理、向量相等、直線方程，結(jié)合已知條件能證明$\overrightarrow{OE}$=$2\overrightarrow{ON}$的充要條件是|AB|=3．

解答 解：（I）設點P（x'，y'），點M的坐標為（x，y），
由題意可知$\left\{\begin{array}{l}x'=x\\ y'=2y\end{array}\right.$…（2分）
又x'²+y'²=4，∴${x^2}+4{y^2}=4⇒\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．
所以點M的軌跡C的方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$…（4分）
證明：（II）設點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），點N的坐標為（x₀，y₀），
（i）當直線l與x軸重合時，線段AB的中點N就是原點O，不合題意，舍去…（5分）（ii）設直線l：$x=my+\sqrt{3}$，
由$\left\{\begin{array}{l}x=my+\sqrt{3}\\{x^2}+4{y^2}=4\end{array}\right.$消去x，
得$（{m^2}+4）{y^2}+2\sqrt{3}my-1=0$，
∴${y_0}=-\frac{{\sqrt{3}m}}{{{m^2}+4}}$…（6分）
∴${x_0}=m{y_0}+\sqrt{3}=-\frac{{\sqrt{3}{m^2}}}{{{m^2}+4}}+\frac{{\sqrt{3}{m^2}+4\sqrt{3}}}{{{m^2}+4}}=\frac{{4\sqrt{3}}}{{{m^2}+4}}$
∴點N的坐標為$（\frac{{4\sqrt{3}}}{{{m^2}+4}}，-\frac{{\sqrt{3}m}}{{{m^2}+4}}）$，…（8分）
①若$\overrightarrow{OE}$=$2\overrightarrow{ON}$，則點E的坐標為$（\frac{{8\sqrt{3}}}{{{m^2}+4}}，-\frac{{2\sqrt{3}m}}{{{m^2}+4}}）$，由點E在曲線C上，
得$\frac{48}{{{{（{m^2}+4）}^2}}}+\frac{{12{m^2}}}{{{{（{m^2}+4）}^2}}}=1$，即m⁴-4m²-32=0，∴m²=8（m²=-4舍去）．
由方程①得$|y{\;}_1-{y_2}|=\frac{{\sqrt{12{m^2}+4{m^2}+16}}}{{{m^2}+4}}=\frac{{4\sqrt{{m^2}+1}}}{{{m^2}+4}}=1$，
又|x₁-x₂|=|my₁-my₂|=|m（y₁-y₂）|，
∴$|AB|=\sqrt{{m^2}+1}|{y_1}-{y_2}|=3$…（10分）
②若|AB|=3，由①得$\frac{{4（{m^2}+1）}}{{{m^2}+4}}=3$，∴m²=8．
∴點N的坐標為$（\frac{{\sqrt{3}}}{3}，±\frac{{\sqrt{6}}}{6}）$，射線ON方程為$y=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}x（x＞0）$
由$\left\{\begin{array}{l}y=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}x（x＞0）\\{x^2}+4{y^2}=4\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}\\ y=±\frac{{\sqrt{6}}}{3}\end{array}\right.$∴點E的坐標為$（\frac{{2\sqrt{3}}}{3}，±\frac{{\sqrt{6}}}{3}）$，
∴$\overrightarrow{OE}$=$2\overrightarrow{ON}$．
綜上，$\overrightarrow{OE}$=$2\overrightarrow{ON}$的充要條件是|AB|=3…（12分）

點評 本題考查曲線方程的求法，考查充要條件的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意韋達定理、向量相等、直線方程等知識點和等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．