Question

10．已知圓C：（x+$\sqrt{3}$）²+y²=16，點D（$\sqrt{3}$，0），Q是圓上一動點，DQ的垂直平分線交CQ于點M，設(shè)點M的軌跡為E．
（1）求E的方程；
（2）過點P（1，0）的直線l交軌跡E于兩個不同的點A，B，△AOB（O是坐標原點）的面積S∈（$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$），若弦AB的中點為R．求直線OR斜率的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意|MC|+|MD|=|MC|+|MQ|=|CQ|=4＞2$\sqrt{3}$，從而軌跡E是以D（$\sqrt{3}$，0），C（-$\sqrt{3}$，0）為焦點，長軸長為4的橢圓，由此能求出E的方程．
（2）設(shè)直線AB：x=my+1，由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\\{x=my+1}\end{array}\right.$，得：（4+m²）y²+2my-3=0，由此利用根的判別式、韋達定理、弦長公式，結(jié)合已知條件能求出直線OR斜率的取值范圍．

解答 解：（1）由題意|MC|+|MD|=|MC|+|MQ|=|CQ|=4＞2$\sqrt{3}$，
∴軌跡E是以D（$\sqrt{3}$，0），C（-$\sqrt{3}$，0）為焦點，長軸長為4的橢圓，
∴E的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（2）記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），R（x₀，y₀），
由題意，直線AB的斜率不可能為0，設(shè)直線AB：x=my+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\\{x=my+1}\end{array}\right.$，消去x，得：（4+m²）y²+2my-3=0，
△=4m²+12（4+m²）=16m²+48＞0，
${y}_{1}+{y}_{2}=-\frac{2m}{4+{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{3}{4+{m}^{2}}$，
S=$\frac{1}{2}$|OP|•|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}$$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{{m}^{2}+3}}{{m}^{2}+4}$，
由S∈（$\frac{3}{5}，\frac{4}{5}$），解得1＜m²＜6，即m∈（-$\sqrt{6}$，-1）∪（1，$\sqrt{6}$），
∵R（x₀，y₀）是AB的中點，
∴${y}_{0}=\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=-$\frac{m}{4+{m}^{2}}$，${x}_{0}=m{y}_{0}+1=\frac{4}{4+{m}^{2}}$，
∴直線OR的斜率k=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}=-\frac{m}{4}$∈（-$\frac{\sqrt{6}}{4}$，-$\frac{1}{4}$）∪（$\frac{1}{4}，\frac{\sqrt{6}}{4}$）．
∴直線OR斜率的取值范圍是（-$\frac{\sqrt{6}}{4}$，-$\frac{1}{4}$）∪（$\frac{1}{4}，\frac{\sqrt{6}}{4}$）．

點評 本題考查點對點的轉(zhuǎn)變的求法，考查直線的斜率的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意根的判別式、韋達定理、弦長公式的合理運用．