Question

6．如圖所示，扇形AOB，圓心角AOB的大小等于$\frac{π}{3}$，半徑為2，在半徑OA上有一動(dòng)點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作平行于OB的直線交弧AB于點(diǎn)P．設(shè)∠COP=θ（θ∈（0，$\frac{π}{3}$）），則△POC周長(zhǎng)與角θ的函數(shù)關(guān)系式f（θ）=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sin（$θ+\frac{π}{3}$）+2，θ∈（0，$\frac{π}{3}$）．

Answer 1

分析 利用正弦定理求出OC和CP，然后求△POC周長(zhǎng)的表達(dá)式，利用兩角和的正弦函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式．

解答 解：由題意可得，在△POC中，∠OCP=$\frac{2π}{3}$，∠COP=θ，∠CPO=$\frac{π}{3}$-θ，OP=2，θ∈（0，$\frac{π}{3}$）．
由正弦定理可得，$\frac{2}{sin\frac{2π}{3}}$=$\frac{4}{\sqrt{3}}$=$\frac{CP}{sinθ}$=$\frac{OC}{sin（\frac{π}{3}-θ）}$，
∴CP=$\frac{4}{\sqrt{3}}$sinθ，OC=$\frac{4}{\sqrt{3}}$sin（$\frac{π}{3}$-θ），
故△POC周長(zhǎng)為f（θ）=$\frac{4}{\sqrt{3}}$sinθ+$\frac{4}{\sqrt{3}}$sin（$\frac{π}{3}$-θ）+2=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinθ+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ-$\frac{1}{2}$sinθ）+2
=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$（$\frac{1}{2}$sinθ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ）+2=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sin（θ+$\frac{π}{3}$）+2，
故答案為：$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sin（θ+$\frac{π}{3}$）+2，θ∈（0，$\frac{π}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查解三角形的知識(shí)，正弦定理的應(yīng)用，兩角和與差的三角函數(shù)的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．