Question

18．若P，Q是橢圓9x²+16y²=144上兩動點(diǎn)，O是其中心，OP⊥OQ，則中心O到直線PQ的距離為$\frac{12}{5}$．

Answer 1

分析 分類討論：當(dāng)PQ⊥x軸或PQ∥x軸時，把y=x與橢圓的方程聯(lián)立即可解出．當(dāng)PQ與x軸不垂直時，設(shè)PQ的方程為：y=kx+m，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)及其$\overrightarrow{OP}$⊥$\overrightarrow{OQ}$，則$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0，點(diǎn)到直線的距離公式即可得出．

解答 解：當(dāng)PQ⊥x軸或AB∥x軸時，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{9{x}^{2}+16{y}^{2}=144}\end{array}\right.$，
解得x=y=±$\frac{12}{5}$，
∴中心O到直線PQ的距離|OH|=$\frac{12}{5}$．
當(dāng)PQ與x軸不垂直時，
設(shè)PQ的方程為：y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{9{x}^{2}+16{y}^{2}=144}\end{array}\right.$，
化為（9+16k²）x²+32kmx+16m²-144=0，
△＞0．x₁+x₂=-$\frac{32km}{9+16{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{16{m}^{2}-144}{9+16{k}^{2}}$．
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2，
∵$\overrightarrow{OP}$⊥$\overrightarrow{OQ}$，
∴$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=x₁x₂+y₁y₂=$\frac{（1+{k}^{2}）（16{m}^{2}-144）}{9+16{k}^{2}}$+$\frac{-32{k}^{2}{m}^{2}}{9+16{k}^{2}}$+m²=0，
化為25m²=144k²+144．
∴點(diǎn)O到弦PQ的距離OH=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{12}{5}$．
故答案為：$\frac{12}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．