【題目】如圖,四棱錐P-ABCD中, PA⊥平面ABCD,E為BD的中點,G為PD的中點,△DAB≌△DCB,EA=EB=AB=1, ,連接CE并延長交AD于F.
(Ⅰ)求證:AD⊥CG;
(Ⅱ)求平面BCP與平面DCP的夾角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)證明見解析;(Ⅱ) .
【解析】試題分析:(1)根據(jù)平幾知識得三角形全等得EF⊥AD,再根據(jù)條件PA⊥平面ABCD,得GF⊥AD,根據(jù)線面垂直判定定理得AD⊥平面CFG,即得結論,(2)先根據(jù)條件建立空間直角坐標系,設立各點坐標,利用方程組解各面法向量,根據(jù)向量數(shù)量積求向量夾角,最后根據(jù)二面角與向量夾角之間關系求結果.
試題解析:(Ⅰ)在△ABD中,因為點E是BD的中點,
∴EA=EB=ED=AB=1,
故
因為△DAB≌△DCB,∴△EAB≌△ECB,
從而有
∴,故EF⊥AD,AF=FD.
又PG=GD,∴FG//PA.又PA⊥平面ABCD,
∴GF⊥AD,故AD⊥平面CFG
又平面CFG,∴AD⊥CF
(Ⅱ)以點A為坐標原點建立如圖所示的坐標系,則
故, ,
.
設平面BCP的法向量,
則,解得,
即
設平面DCP的法向量,
則解得
即.從而平面BCP與平面DCP的夾角的余弦值為
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【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
已知直角坐標系中動點,參數(shù),在以原點為極點、軸正半軸為極軸所建立的極坐標系中,動點在曲線: 上.
(1)求點的軌跡的普通方程和曲線的直角坐標方程;
(2)若動點的軌跡和曲線有兩個公共點,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】公元263年左右,我國數(shù)學家劉徽發(fā)現(xiàn)當圓內接正多邊形的邊數(shù)無限增加時,多邊形的面積可無限接近圓的面積,并創(chuàng)立了“割圓術”,利用“割圓術”,劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點后兩位的近似值3.14,這就是著名的“徽率”,利用劉徽的“割圓術”思想設計的一個程序框圖,則輸出的值為( )
(參考數(shù)據(jù): )
A. 12 B. 24 C. 48 D. 96
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【題目】某公司為了準確把握市場,做好產(chǎn)品計劃,特對某產(chǎn)品做了市場調查:先銷售該產(chǎn)品50天,統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)每天的銷售量分布在內,且銷售量的分布頻率滿足:
(1)求的值并估計銷售量的平均數(shù);
(2)若銷售量大于等于80,則稱該日暢銷,其余為滯銷.在暢銷日中用分層抽樣的方法隨機抽取6天,再從這6天中隨機抽取3天進行統(tǒng)計,求這3天不都來自同一組的概率.
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【題目】在平面直角坐標系中,圓,直線.
(1)以原點為極點, 軸正半軸為極軸建立極坐標系,求圓和直線的交點的極坐標;
(2)若點為圓和直線交點的中點,且直線的參數(shù)方程為 (為參數(shù)),求, 的值.
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【題目】已知函數(shù),其中為自然對數(shù)的底數(shù),常數(shù).
(1)求函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù);
(2)函數(shù)的導數(shù),是否存在無數(shù)個,使得為函數(shù)的極大值點?說明理由.
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【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
已知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以平面直角坐標系的原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系.
(1)求曲線的普通方程,并說明其表示什么軌跡;
(2)若直線的極坐標方程為,試判斷直線與曲線的位置關系,若相交,請求出其弦長.
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