Question

【題目】已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，常數(shù)．

（1）求函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

（2）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是否存在無(wú)數(shù)個(gè)，使得為函數(shù)的極大值點(diǎn)？說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）1（2）存在

【解析】【試題分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用二分法判斷函數(shù)在給定區(qū)間上只有一個(gè)零點(diǎn).（2）原命題等價(jià)于，存在無(wú)數(shù)個(gè)，使得成立，求得的表達(dá)式，構(gòu)造為函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證得存在負(fù)值即可.

【試題解析】

（1），當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞增；

因?yàn)?/span>，所以存在，使，

且當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， ．

故函數(shù)在區(qū)間上有1個(gè)零點(diǎn)，即．

（2）（法一）當(dāng)時(shí)， ．

因?yàn)楫?dāng)時(shí)， ；當(dāng)， ．

由（1）知，當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ．

下證：當(dāng)時(shí)， ，即證．

，

記…

，所以在單調(diào)遞增，

由，

所以存在唯一零點(diǎn)，使得，且時(shí)， 單調(diào)遞減，

時(shí)， 單調(diào)遞增．

所以當(dāng)時(shí)， ．……

由，得當(dāng)時(shí)， ．

故．

當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞減．

所以存在，使得為的極大值點(diǎn)．

（2）（法二）因?yàn)楫?dāng)時(shí)， ；當(dāng)， ．

由（1）知，當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ．

所以存在無(wú)數(shù)個(gè)，使得為函數(shù)的極大值點(diǎn)，即存在無(wú)數(shù)個(gè)，使得成立， ①…由（1），問(wèn)題①等價(jià)于，存在無(wú)數(shù)個(gè)，使得成立，

因?yàn)?/span>，

記…

因?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)， ，所以在單調(diào)遞增，因?yàn)?/span>，

所以存在唯一零點(diǎn)，使得，且當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞增；

所以，當(dāng)時(shí)， ， ②…

由，可得，代入②式可得，

當(dāng)時(shí)， ，

所以，必存在，使得，即對(duì)任意有解，

所以對(duì)任意，函數(shù)存在極大值點(diǎn)為．…