Question

20．已知雙曲線中心在原點，焦點在x軸上，過左焦點F₁作傾斜角為30°的直線l，交雙曲線于A，B兩點，F(xiàn)₂為雙曲線的右焦點，且AF₂⊥x軸，如圖．
（Ⅰ）求雙曲線的離心率；
（Ⅱ）若|AB|=16，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將x=c代入雙曲線方程求出點M的坐標(biāo)，通過解直角三角形列出三參數(shù)a，b，c的關(guān)系，求出離心率的值；
（Ⅱ）設(shè)雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{2{a}^{2}}$=1，直線AB的方程，代入雙曲線方程，求出A，B的坐標(biāo)，求出線段AB的長，利用|AB|=16，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答 解：（Ⅰ）將x=c代入雙曲線的方程得y=±$\frac{^{2}}{a}$，A（c，$\frac{^{2}}{a}$）
在△AF₁F₂中tan30°=$\frac{\frac{^{2}}{a}}{2c}$
即$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{2ac}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得b=$\sqrt{2}$a，設(shè)雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{2{a}^{2}}$=1，
設(shè)直線AB的方程為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-$\sqrt{3}$a）
將其代入雙曲線方程消去y得，5x²+2$\sqrt{3}$ax-9a²=0，解之得x₁=-$\sqrt{3}$a，x₂=$\frac{3\sqrt{3}}{5}$a
將x₁，x₂代入①，得y₁=-2a，y₂=-$\frac{2}{5}$a，故A（-$\sqrt{3}$a，-2a），B（$\frac{3\sqrt{3}}{5}$a，-$\frac{2}{5}$a），
故|AB|=$\sqrt{（-\frac{8\sqrt{3}}{5}a）^{2}+（\frac{8}{5}a）^{2}}$=$\frac{16}{5}$a=16，
∴a=5，
∴雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{25}-\frac{{y}^{2}}{50}=1$．

點評 本題考查雙曲線中三參數(shù)的關(guān)系：c²=a²+b²，考查雙曲線的方程，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，注意與橢圓中三參數(shù)關(guān)系的區(qū)別；求圓錐曲線的離心率就是求三參數(shù)的關(guān)系．