Question

12．如圖，過橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦點F作直線與圓x²+y²=$\frac{{a}^{2}}{4}$及橢圓依次交于點A、B、P，若FA=PB，且AB=$\frac{\sqrt{3}a}{2}$，則橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{10}}{4}$．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，得到焦點三角形為直角三角形，利用平面幾何知識求得PF、PG的長度，結(jié)合勾股定理求得答案．

解答 解：如圖，
設(shè)橢圓的右焦點為G，連接PG，
∵FA=PB，取FP中點H，連接OH，則OH⊥PF，
∴可得PF⊥PG，
∵AB=$\frac{\sqrt{3}a}{2}$，∴AH=$\frac{\sqrt{3}a}{4}$，
圓x²+y²=$\frac{{a}^{2}}{4}$的半徑OA=$\frac{a}{2}$，∴OH=$\sqrt{O{A}^{2}-A{H}^{2}}=\sqrt{（\frac{a}{2}）^{2}-（\frac{\sqrt{3}a}{4}）^{2}}$=$\frac{a}{4}$．
∴FH=$\sqrt{{c}^{2}-（\frac{a}{4}）^{2}}$，則PF=$2\sqrt{{c}^{2}-\frac{{a}^{2}}{16}}$，
則$PG=2a-2\sqrt{{c}^{2}-\frac{{a}^{2}}{16}}$．
∴$4（{c}^{2}-\frac{{a}^{2}}{16}）+（2a-2\sqrt{{c}^{2}-\frac{{a}^{2}}{16}}）^{2}=4{c}^{2}$，
整理得：64e⁴-144e²+65=0，解得${e}^{2}=\frac{13}{8}$（舍）或${e}^{2}=\frac{5}{8}$，
則$e=\frac{\sqrt{10}}{4}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{10}}{4}$．

點評 本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題．考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法和數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，由題意得到焦點三角形為直角三角形是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．