Question

10．函數(shù)f（x）=sinx+cosx+sinxcosx，g（x）=mcos（2x-$\frac{π}{6}$）-2m+3（m＞0），若對任意x₁∈[0，$\frac{π}{4}$]，存在x₂∈[0，$\frac{π}{4}$]，使得g（x₁）=f（x₂）成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 由x∈[0，$\frac{π}{4}$]，利用單調(diào)性求得f（x）的范圍，進(jìn)一步求得g（x）的范圍，依題意，對任意x₁∈[0，$\frac{π}{4}$]，存在x₂∈[0，$\frac{π}{4}$]，使得g（x₁）=f（x₂）成立，可得到關(guān)于m的不等式組，求解可求得實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：∵f（x）=sinx+cosx+sinxcosx=$\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）+\frac{1}{2}sin2x$，
當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{4}$]時，函數(shù)f（x）為增函數(shù)，
∴f（x）_min=f（0）=1，$f（x）_{max}=f（\frac{π}{4}）=\sqrt{2}+\frac{1}{2}$，
∴f（x）∈[1，$\sqrt{2}+\frac{1}{2}$]，
對于g（x）=mcos（2x-$\frac{π}{6}$）-2m+3（m＞0），
2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，mcos（2x-$\frac{π}{6}$）∈[$\frac{m}{2}$，m]，
∴g（x）∈[-$\frac{3m}{2}$+3，3-m]，
若對任意x₁∈[0，$\frac{π}{4}$]，存在x₂∈[0，$\frac{π}{4}$]，使得g（x₁）=f（x₂）成立，
則$\left\{\begin{array}{l}{1≤-\frac{3m}{2}+3}\\{\sqrt{2}+\frac{1}{2}≥3-m}\end{array}\right.$，
解得實數(shù)m的取值范圍是[$\frac{5}{2}-\sqrt{2}，\frac{4}{3}$]．
故答案為：[$\frac{5}{2}-\sqrt{2}，\frac{4}{3}$]．

點評 本題考查兩角和與差的正弦函數(shù)，著重考查三角函數(shù)的性質(zhì)的運用，考查二倍角的余弦，解決問題的關(guān)鍵是理解對任意x₁∈[0，$\frac{π}{4}$]，存在x₂∈[0，$\frac{π}{4}$]，使得g（x₁）=f（x₂）成立的含義，是中檔題．