已知四棱錐S-ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，E是SC上的任意一點(diǎn)．
（1）求證：平面EBD⊥平面SAC；
（2）當(dāng)SA=AB時(shí)，求二面角B-SC-D的大�。�
考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,平面與平面垂直的判定
專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析：（1）欲證平面EBD⊥平面SAC，只需證BD⊥面SAC，利用線面垂直的判定定理可證得；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面BSC、平面SCD的法向量，利用向量的夾角公式，即可求二面角B-SC-D的大�。�
解答： （1）證明：∵SA⊥底面ABCD，
∴SA⊥BD…（2分）
∵底面ABCD是正方形，
∴AC⊥BD…（4分）
∵SA∩AC=A，
∴BD⊥平面SAC，
又BD?平面EBD
∴平面EBD⊥平面SAC…（5分）
（2）解：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AS所在的直線分別為x，y，z軸．設(shè)AB=1．

由題意得B（1，0，0），S（0，0，1），C（1，1，0），D（0，1，0）…（6分）
SB
=（1，0，-1），又
SC
=（1，1，-1）
設(shè)平面BSC的法向量為
n
（x1，y1，z1），則
n
•
SC
=x1+y1-z1=0
n
•
SB
=x1-z1=0
，令z1=1，則
n
=（1，0，1，…（8分）
DS
=（0，-1，1）
DC
=（1，0，0），
設(shè)平面SCD的法向量為
n
=（x2，y2，z2），則
n2
•
DC
=x2=0
n
•
DS
=z2-y2=0
，令y2=1，則
n
=（0，1，1），…（10分）
設(shè)二面角B-SC-D的平面角為a，則
|cosα|=
|
n1
•
n2
|
|
n1
|•|
n2
|
=
1
2
×
2
=
1
2
．
顯然二面角B-SC-D的平面角為α為鈍角，所以α=120°，
即二面角C-PB-D的大小為20°．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了平面與平面之間的位置關(guān)系，考查向量法的運(yùn)用，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=a，點(diǎn)P在邊AB上，設(shè)
AP
=λ
PB
（λ＞0），過點(diǎn)P作PE∥BC交AC于E，作PF∥AC交BC于F．沿PE將△APE翻折成△A′PE使平面A′PE⊥平面ABC；沿PE將△BPF翻折成△B′PF，使平面B′PF⊥平面ABC．
（1）求證：B′C∥平面A′PE；
（2）是否存在正實(shí)數(shù)λ，使得二面角C-A′B′-P的大小為90°？若存在，求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，A、B是橢圓的左、右頂點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的左焦點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)．其中，|PF|的最小值是2-
2
，△PFA的面積最大值是
2
-1．
（Ⅰ）求該橢圓的方程；
（Ⅱ）如圖，直線BM⊥AB，BM交AP于M，OM交BP于N，求點(diǎn)N到點(diǎn)Q（0，2）的距離的最大值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，AD∥BC，且PA=AD=2，AB=BC=1，E為PD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：CD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角E-AC-D的余弦值；
（Ⅲ）在線段AB上是否存在一點(diǎn)F（不與A，B兩點(diǎn)重合），使得AE∥平面PCF？若存在，求出AF的長；若不存在，請(qǐng)說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)A（1，2）在拋物線Γ：y2=2px上．
（1）若△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線Γ上，記三邊AB，BC，CA所在直線的斜率分別為k1，k2，k3，求
1
k1
-
1
k2
+
1
k3
的值；
（2）若四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線Γ上，記四邊AB，BC，CD，DA所在直線的斜率分別為k1，k2，k3，k4，求
1
k1
-
1
k2
+
1
k3
-
1
k4
的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=
1
2
AB=1，M為PB中點(diǎn)．
（1）證明：AB⊥CM；
（2）求AC與PB所成的角的余弦值；
（3）求二面角A-MC-B的余弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

選修4-5；不等式選講
已知a＞0，b＞0，a+b=1，求證：
（Ⅰ）
1
a
+
1
b
+
1
ab
≥8；
（Ⅱ）（1+
1
a
）（1+
1
b
）≥9．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知曲線C1：
|x|
a
+
|y|
b
=1(a＞b＞0)所圍成的封閉圖形的面積為4
5
，曲線C1的內(nèi)切圓半徑為
2
5
3
．記曲線C2是以曲線C1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的橢圓．設(shè)AB是過橢圓C2中心的任意弦，l是線段AB的垂直平分線，M是l上異于橢圓中心的點(diǎn)．
（1）求橢圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若|MO|=m|OA|（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)點(diǎn)A在橢圓C2上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡方程；
（3）若M是l與橢圓C2的交點(diǎn)，求△ABM的面積的最小值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線
x2
36
-
y2
45
=1上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)F1的距離是16，則P到F2的距離是
 
．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案