Question

7．已知函數(shù)f（x）=-x³+ax²+bx+c（a＞0）在x=0處取得極小值．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（Ⅲ）當a=2時，函數(shù)y=f（x）有三個零點，求c的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，解關(guān)于導函數(shù)的方程，得到f′（0）=0，求出b的值即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導數(shù)，解關(guān)于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)集合的包含關(guān)系求出a的范圍即可；
（Ⅲ）求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的極大值和極小值，根據(jù)函數(shù)的零點的個數(shù)得到關(guān)于a的不等式組，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=-3x²+2ax+b，
若f（x）在x=0處取得極小值，
則f′（0）=0，解得：b=0，
經(jīng)檢驗b=0符合題意；
（Ⅱ）由（Ⅰ）f（x）=-x³+ax²+c，
f′（x）=-3x²+2ax=-x（3x-2a），
令f′（x）≥0，解得：x∈[0，$\frac{2a}{3}$]，
若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增，
則[1，2]⊆[0，$\frac{2a}{3}$]，故$\frac{2a}{3}$≥2，解得：a≥3；
（Ⅲ）a=2時，f（x）=-x³+2x²+c，
f（x）在（-∞，0）遞減，在（0，$\frac{4}{3}$）遞增，在（$\frac{4}{3}$，+∞）遞減，
故f（x）_極小值=f（0）=c，f（x）_極大值=f（$\frac{4}{3}$）=$\frac{32}{27}$+c，
若函數(shù)y=f（x）有三個零點，
則$\left\{\begin{array}{l}{c＜0}\\{\frac{32}{27}+c＞0}\end{array}\right.$，解得：-$\frac{32}{27}$＜c＜0，
即c∈（-$\frac{32}{27}$，0）．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導數(shù)的應用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．